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导数的几何意义教案 （后附教学反思）
永嘉中学 数学组 周瑛 08413
【教学目标】
知识与技能目标：
（1）使学生掌握函数f（x）在x Xo处的导数f / X0的几何意义就是函数f（x）的 图像在
X Xo处的切线的斜率。（数形结合），即：
f / Xo lim 4—x f（Xo）二切线的斜率
X 0 x
（2）会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方 法。
过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问 题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力 的目的。
情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与 形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学， 用数学的意识。
【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有
效提高教学效率和教学质量。
【课型】探究课
【教学重点与难点】
重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义
【教学过程】
（一）课题引入，类比探讨：
让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。
师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学 案”中写：
导数f/（Xo）的本质是函数f （x）在X Xo处的瞬时变化率，即：
f/
f/ Xo
f Xo
x f(Xo)
X
（注记：教师不能代替学生的思维活动， 学生将大脑中已有的经验、认识转换成 数学符号，有利于学生思维能力的有 效提高，为学生“发现” 感知导数的几何意
义奠定基础）
师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角 度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？
（教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”自然要结合“数”） 生1:研究导数的代数表达式。
师：那必然就要回忆求导数f/（X。）的步骤了。
生（齐）：分三步：
第一步：求 y
第二步：求平均变化率」；
x
第三步：当X趋近于0时，平均变化率丄?—x） f（Xo）无限趋近于的常
X
数就是f/（Xo）。（回归本质，数形结合）
教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导 数的几何意义，类比地，也可以分三个步骤：
师：第一步：y的几何意义。（并在学案的图（二次函数）中画出）
生：当Xo X与Xo所对应的函数值的差量。
师：很好，那么第二步：平均变化率 —X）f（X0）的几何意义是什么？
X
（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。
生2:平均变化率 —X）f（Xo）的几何意义是割线 AB的斜率。其中
X
A（Xo, f（Xo））, B（Xo x, f（Xo x））。（提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。）
师：第二步：x o时，割线AB有什么变化？请用你的笔描绘出来。
（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与独立思考能
力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在 xo x与xo之间。）
教师让生3用投影仪展示自己的作品，并向其它学生介绍自己作图的意图，
由此引导同伴观察到： x o，B（xo x, f （xo x）） A（Xo, f （Xo））,
师（趁胜追击）：很好，那么当 x 0 ,于是A，B之间的差距越来越小，
B 一直，一直这样靠近 A，最后会
生（齐）：重合。
师：那么直线AB ？
0 ,割线AB
0 ,割线AB有一个无限趋近的确定位置,
这个确定位置上的直线叫做曲线在 x Xo处的切线，下面请把它画出来。
等学生化出切线AD后，教师用Flash展示动态过程，引导学生回顾过程。
结论：（形） x 0 ,割线AB 切线AD，
则割线AB的斜率 切线AD的斜率。（口述）
由数形结合，得 f/ Xo lim丄出一X—二切线AD的斜率。（板书）
x 0 x
所以，函数f（x）在x Xo处的导数f / xo的几何意义就是函数 f（x）的图像在
x Xo处的切线AD的斜率。（数形结合）。
（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获 得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数
的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）
（二）深入研究，知识拓展
师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线 很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见 P77的探究问题。
生4:初中平面几何中，如圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，
叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。
师：讲得非常好，确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。
（展示如下动画，A点—直线I i—B— 直线I 2） o
学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。
y j
/
1
1 1
7
^2
k I
x
Cy
P7
[/
师：圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上 图中，直线ll虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而 另一条直线ll虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。
因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。
通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不
惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。
（三）“以直代曲”思想
利用PPT做出三个切点附近的近景，而且由小放到大，类似于放大镜的效 果，让学生观察切点附近曲线与直线的位置关系。
学生发现，它们越来越靠近，几乎重合。此时，教师点出：
根据导数的几何意义，在点 P附近，曲线f（x）可以用在点P处的切线近似 代替，这是微积分中重要的思想方法一一以直代曲 （以简单的对象刻画复杂的
对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个 近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就 一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线 近似代替，即“以直代曲”）
（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对
“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与 抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教
学质量。）
（四）例题讲解，加强理解
例1 在函数h（t） 4.9t2 6.5t 10的图像上，用图形来体现导数
h/（1） 3.3，h/（0.5） 1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。
变式：请描述、比较曲线h（t）在to,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情
况。在t3,t4附近呢？（如下图）
（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员 的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以 直代曲”的思想方法。）
从中小结出：1 .点附近的增减.导数的正负过该点切线的斜率正负；
2.增减快慢.导数的绝对值大小..过该点切线的斜率大小的绝对值 . 曲线在该点附近的陡峭程度。（板书）
例2 如图表示人体血管中的药物浓度
例2 如图表示人体血管中的药物浓度 f （t）（单位：mg/mL ）随时间t （单
位：min ）变化的函数图像，根据图像，估计t 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 （min）时，血
管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。 （精确到0.1）
t
0.2
0.4
o.6
0.8
药物浓度的 瞬时变化率
（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率）
进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合” 、“以直代曲”
的思想方法。）
（五）抽象概括，归纳小结
（先由学生小结）
1.抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念: f/ X。是确定的数（静态），f/ x是X的函数（动态）
由 f
由 f/ Xo
lim佟一X 电（特殊一一一般） X 0
f/ x lim f~X X （静态 动态）
X 0 X
（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想
2.归纳小结： 由学生进行开放式小结：
（1）函数f（x）在X Xo处的导数f / Xo的几何意义就是函数f（X）的图像在
x Xo处的切线AD的斜率。（数形结合），即：
f / Xolim 4—x
f / Xo
x o
limx of X X
lim
x o
f X X f(x)
X
（3）导函数（简称“导数”）的概念
（六）作业布置
1．习题 P80.A5,6;B1
2.(给好的学生)请给出求函数y f(x)在x xo处的切线方程的一个算法，并 小组自编四个求切线的题目。
(探索：若把3 .“在点(Xo，f(Xo))处”改为“过点(Xo, f(Xo)) ”，算法有何不 同？并小组自编四个求切线的题目。
)
附：
教学反思
本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导 数的几何意义 ,由于新教材未设计极限 ,于是我尽量采用形象直观的方式 ,让学生 通过动手作图 ,自我感受整个逼近的过程 ,并用形象的几何画板及 Flash 展示动态 的过程，让学生更加深刻地体会导数的几何意义及“以直代曲”的思想。
本节课主要围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数 的几何意义解释实际问题”两个教学重心展开。
先回忆导数的实际意义、 数值意义， 由数到形， 自然引出从图形的角度研究 导数的几何意义；然后，类比“平均变化率——瞬时变化率”的研究思路，运用 逼近的思想定义了曲线上某点的切线， 再引导学生从数形结合的角度思考， 获得 导数的几何意义——“导数是曲线上某点处切线的斜率” 。
完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研 究实际问题时， 某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替， 即“以直代曲”， 从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研究，让学 生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。
本节课注重以学生为主体 ,每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出， 课堂上给予学生充足的思考时间和空间， 让学生在动手操作、动笔演算等活动后， 再组织讨论，本教师只是在关键处加以引导。从学生的作业看来，效果较好。
在例题讲解时，注重审题(分析关键的词句)和解题反思，感觉效果不错！ 但是，作为探究课，时间如果控制不好，易讲不完，我就是例 2 来不及分析 完，于是当作课外作业，所以时间要注意调配。
还有有些学生对如何画出过该点的切线有点困难，此时，教师给予示范
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