【摘要】数学史与数学教学的整合已经成为新时期数学教育改革的重点方向，对提高数学教学质量、培养学生数学核心素养等具有重要意义。对此，本文以北师大版七年级数学教材中的《有理数乘方》为例，在简要概述HPM基本内涵的基础上，指出了HPM视角下教学设计原则，并详细分析了HPM视角下有理数乘方的教学设计，以期为广大同仁提供有益参考与借鉴。
【关键词】HPM视角；初中数学；有理数乘方；教学设计
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）06-0287-02
一、HPM基本内涵
HPM，是History and Pedagogy of Mathematics的简称，是一个诞生于上世纪七十年代的学术领域，主要研究目标是通过数学史的研究和利用来提高数学教育质量。具体来讲，HPM所涉及的领域包括数学史与数学教学关系、数学史在教学中渗透的价值、数学史对教师和学生的影响等。以建构主义理论来讲，学生数学学习是一个持续建构的过程，数学史能够将数学家探索数学规律、构建数学理论的过程进行直观呈现，所以，HPM视角下的教学活动，可以有效激发学生数学学习兴趣，并帮助学生理解数学原理和概念的形成过程，在新旧知识对比中完成新知识的内化迁移。因此，加强HPM视角下初中数学教学的设计与实践，具有非常重要的现实意义和指导价值。
二、HPM视角下数学教学设计原则
（一）客观性原则
数学史是研究数学生成、演变和规律的重要学科分支，所研究的对象都是已经发生或既定存在的客观事实，如重大历史事件、研究成果、代表人物等。因此，在进行HPM视角下数学教学设计与实施时，必须坚持客观性原则，确保所用数学史资料都是真实的。
（二）目标性
在教学设计与实施中，所采用的数学史资料不要太多，否则会出现教学目标被“喧宾夺主”的问题，影响课堂教学质量。因此，数学史的融入既要围绕教学目标展开，又要满足教学内容需要，这样才能达到最佳的应用性效果。
（三）生本性
在HPM视角下进行教学设计或实施时，一定要确保教学内容和流程符合学生认知规律，坚持以学生为本的原则理念，否则会适得其反，超出学生认知能力范围不仅会加大学生学习压力，而且会降低课题教学质量。
三、HPM视角下有理数乘方的教学设计
本文以北师大版七年级数学上册中的《有理数乘方》为例，以HPM为视角进行了教学设计，具体如下：
（一）设计思路
本次教学设计以有理数乘方的历史、概念和应用三部分为主线，将与之相关的数学理论、代表人物和历史故事等融入教学设计中，在激发学生学习兴趣的基础上，对有理数乘方形成本质理解。
（二）教学目标
（1）明白有理数乘方的形成过程，掌握有理数乘方、幂、底数、指数的概念；（2）在教师的引导和数学史的启示下，有效培养学生发现、分析和解决问题的能力，以及有理数乘方运算能力；（3）通过对有理数乘方的理解与掌握，体会数学与生活的关联，感受探索真理的不易，在培养学生求知精神和科学态度的基础上，增强学生数学学习信心。
（三）教学过程及设计
1.微课预习，了解历史
目前，微课已经成为现代教育改革的重要方式和手段，在优化课堂结构、提高教学质量方面发挥了重要作用。对此，教师可在进行《有理数乘方》教学前，针对有理数乘方形成历史，在充分考虑学生认知能力的基础上，精心设计“有理数乘方的历史”微课，简单介绍阿基米德的大数记法、丢番图的幂的符号、斯蒂菲尔的《整数算术》，让学生通过微课预习来感受有理数乘方发生、发展的历史，感悟其背后蘊含的数学思想方法，为后续的新知讲解奠定坚实基础。
2.情境导入，激发兴趣
教师可利用多媒体为学生呈现一张国际象棋棋盘的图片，并为学生讲了如下经典故事：印度舍罕王为了表彰宰相西萨·班·达依尔发明国际象棋的功绩，决定进行赏赐，于是宰相向国王提出：“陛下，请您在这张国际象棋棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”随后，提出如下问题：“国王能否兑现他的承诺？摆满整个棋盘到底需要多少麦粒呢？”在充分调动学生兴趣的基础上，适时引入有理数乘方的概念：“求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，其中n为正整数，a为有理数。即”。
3.实践操作，深化理解
新课导入后，教师可为学生简要介绍笛卡儿在《方法论》中，在阿基米德大数记法的基础上创用了幂的新记号，如用a3表示aaa，用a4表示aaaa等，让学生了解当前有理数乘方运算法则的直接来源。而后，为加深学生对有理数乘方的理解，要求学生每人手拿一张白纸，然后将其进行对折1次、2次、3次，观察能够得到几层？学生经过观察纷纷给出正确答案，折1次得到2层，折2次得到4层，折3次得到8层，随后提出问题：“如果对折5次、10次、20次会得到多少层？请用有理数乘方运算方式进行表示。”最后经过小组讨论和自主思考，大部分学生都给出了正确答案：对折5次=2×2×2×2×2=25；对折10次=2×2……×2×2=210；对折20次=2×2……×2×2=220。
4.例题讲解，探究规律
教师用多媒体为学生呈现阿基米德和叙拉古王子盖罗在海边散步时谈论“宇宙沙数”的故事，并提出如果没有幂的符号，如何用平方与立方来表达10次幂呢？借此让学生感受到，在没有幂的现代记号情况下表达高次幂很不方便。在学生把握有理数乘方现实重要性的基础上，教师通过105、（-5）2、（-5）3、-52等例题的讲解让学生自主探究、归纳出幂的符号的规律，同时让学生思考（-5）2、-52的区别，最后得出：“负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，括号与符号的位置不同所代表的意义也不同，计算结果也就不同。”这样以来，不仅帮助学生明确了乘法与乘方的关系，而且帮助学生加深了对有理数乘方概念的理解，并有效培养了学生数学严谨性思维。
5.课堂练习，综合提高
为考查学生对有理数乘方的综合运用，教师要及时开展课堂练习，通过如34+（-3）4×35、（a-b）4·（a-b）2-（b-a）3·（a-b）3
等习题，让学生以小组形式进行竞赛运算，以达到综合提高的效果。在学生合作练习中，教师要提醒学生注意四则混合运算的顺序，即先乘除再加减，对于整式同样适用。这样不仅巩固了学生以往所学知识，而且提高了学生数学综合素养。
总而言之，在以HPM为视角展开教学设计与实施时，一定要坚持客观性、目标性和升本性原则，既要注重数学史资料的融入，又要注重数学思想的渗透，既要注重学生认知结构的建构，又要注重学生实践能力的培养。只有如此，才能充分发挥数学史服务数学教学的作用。
参考文献
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[2]吴晶，赵顺蓉.“数学史”资源融入初中数学课堂教学的策略探索[J].教育科学论坛，2016（15）：54-56.