实用
数形结合总结
数形结合之规律
【典型例题】
例1 观察下列算式：
1234?81,27,?9,33?3?3,3 8756,65613?2187,3?3?243,3?729, ……用你所发现的规律写出20043的末位数字是__________。
例2 观察下列式子：
1?4?2?6?2?32?5?2?12?3?43?6?2?20?4?54?7?2?30?5?6……；；； 请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来__________。
②中间的小三3—4—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图例4 图3 ③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。角形三边的中点，得到图3—4
② ③ ①
…… (1)将下表填写完整
图形编号
1
2
3
4
5
…
三角形个数
1
5
9
…
个图形中有（2）在第n____________________个三角形（用含n的式子表示）。111的16例．如图，把一个面积为的矩形，接着把面积为的正方形分等分成两个面积为的矩形等分成两个面积为 224 文档．
实用 11 的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算：的矩形等分成两个面积为正方形，再把面积为 8411111111 256128824163264 a个……按这种规律摆放，第五层的正．把棱长为3的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层例7 方体的个数是
8.观察下列图形并填表。例 1
1
2
个数 F
1 45
2 24
3 17
4 21
5 36
6 43
7…25
n 31
周长
5 A
8 DPF
11 A
14
A
… PF
。如果162个数，这9个数的和是200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3到例9．把1 个数。在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9 个数的和是多少？时，这9） 当正方形左上角的数是1001（ 1557时，最大的数是多少？ 当正方形中9个数的和是（2）756432114121113109821181920171615 28262723242225?196195200199197198
文档．
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）21986；（个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12例10个数，要使这．将121个数的和等于（至11001） 是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。3（745612314111213891021181920151617 28252627222324?10019991000995996997998
2012按如图方式排列成一个表．3，4，…，例11.把2012个正整数1，2，的式子表示出来，从小到大依次是x4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含（1）用如图方式框住表中任意 ．，______，____________ 的值；若不能，则说明理由．244吗？若能，则求出x（2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于
2011按如图方式排列成一个表．2010，4，…，，，例12. 把2011个正整数12，3的式子表示出来，，则另三个数用含x1）如图，用一个正方形框在表中任意框出4个数，在左上角的一个数记为x（ ．，______，这四个数的和是______，从大到小依次是____________ 的值为多少？（列出方程，根据等式的性质求解）416时，x（2）当（1）中被框住的四个数之和等于个数中，最大数与最小数之a，则这7a，，a列各列数之和分别记为1至第7a，，aaa，，）从左到右，第．差等于______（直接写出结果，不写计算过程）
文档．
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示续：的，偶如数102，，4图，…排6例所13. ，将成连8 系？有什么关中5个数之和与26十（1）字框 ．个数的和示这十字框中五表（2）设中间数为a，用代数式 律吗？这个数还有种规方移，框就是另外五个数，这五下）（3若将十字框上、、左、右平于否等说明理由．能个，请写出这五数，若不能，请？数4（）十字框中的五个之和能等于2010吗若能 呢？2012
11111，，例14．将1， ，…按一定规律排成下表：，，5364211试找出? 个数 行第 在第 112006?32 1116451111 1078911111 1514111312
【巩固练习】 1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： 块； 个图案中有白色地面砖）第（14
n 2（）第个图案中有白色地面砖 块。
……
第一个 第二个第三个
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n(n?2)个棋子，每个图2．下列每个图形都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n之间的关系可以用式子 来表示。
案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与 ……
n?2n?3n?4n?54s?8s? 12s? s?16
3．观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。
，，①5，913，17 。
，
。
， ，57，11，19， ②4， ，175。
，174 ，，，③1020，2142，43 ， 144 349④4，，19，，54， ， ，。
37 ， ，，。9 54131⑤45，，43，，，，
7，12，， ， 。510316⑥，，8，，， 。
53210⑦，，1，，，， ，
。
108131155180⑧，，，， ，
。
，，，， ，
， 。
7568，6360⑩，，，
2．你能很快算出41995 吗？n+5,5的自然数的平方，任意一个个位数为为了解决这个问题，我们考察个位上的数为510?的自然数可写成2即求n)10(?5n?2?n,1n3,n,这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出为自然数）的值（，你试分析 结论（在下面空格内填上你的控索结果）。
文档．
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（1） 通过计算，控索规律：
21(1?1)?25 可写成22(2?1)?25 可写成2?351225100?3(3?1)?25 可写成2?452025100?4(4?1)?25 可写成…………
2?755625可写成
2?722585可写成
2）的结果，归纳、推测得：从第（1（2） )n5(10
?根据上面的归纳、推测，请算出： 3）（21995
5．观察下列几个算式，找出规律：
1＋2＋1=4
1＋2＋3＋2＋1=9
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25
……
利用上面规律，请你迅速算出：
①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=
②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？
n的计算公式吗？ ＋3＋…＋③据上你能推导出1＋23188122222222．给出下列算式：65?3?16?8?27?5?24?8?3?9?7?32?8?4，…，观，，，察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律是 。
7．研究下列算式，你会发现有什么规律？
22225?1?4?254?6?143122?41?933?5161……；；；请将你找出的规律用公式表示出来： 。
文档．
实用 8．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律填写：1a 。
所表示的数： 11 121b 。
所表示的数： 1313 14a411111123．因为91111? ，，1b15b522339?32)?(1?98?21?1 (1?2?3362712?8?31
22333310010(1?2?3?4)100?41?8?2712364
?那么3333331003199?24 。
．如下图：10 ） （126109
2
227
）（2466
285
数形结合之万能裂项 观察下列两组等式?;;?①1? 432?3231?22?4311111111111 );?(?(?1?);)②( 10377?10441?334?747根据你的观察，先写出猜想：
11( )×( ( ) (2) (1))
( )－ n(n?1))n?d(例12 1?66?1111?1616?21 52214?33?4
文档．
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111111111113例 例 4 120306122042562448808
1。个不同的数，使这～1100中找出1010个数的倒数的和等于在自然数例7
文档．
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五大模型一《格点问题》数形结合之，)1个单位通常规定是在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形.
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
L1S?N2 ．则它的面积为
【例 1】 如图，计算各个格点多边形的面积．
⑴⑵⑶⑸⑷⑹
】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 2
BCE1cm 1cm 分别计算图中两个格点多边形的面积．【例 3】 ⑵ ⑴
【巩固】求下列各个格点多边形的面积． ⑴⑵⑷⑶
4【例】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 文档．
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面积单位的图形．求矩形内的箭形 【例 5】右图是一个的面积．ABCDEFGH128?HGFAEDCB 1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是
CEPQBQPFCQAPABCDEF 2=，求阴影四边形的面积．，图中正六边形】【例 6 的面积是54=2，EEBBQQCCDD
文档．