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空间直线和平面
［知识串讲］
空间直线和平面：
（一）知识结构
rl平面
—I三个公理，三个推论I
直线、平面
III
L平行亘线 Y理4及尊角定理卜I
I异面直线I—
匚相交言践I
线线帝
空间角
应用
空间距
「线面距I
L线线距
（二）平行与垂直关系的论证
?三垂线定理］
-直线与平面相貂
咪交股面角一
1、线线、线面、面面平行关系的转化:
面面平行性质
a // b
//
a // b
//
a b A
a II ,b//
a ,b
公理4 、:
(a//b,b//c
线面平行判定
面面平行判定1
线线//
<
线面//
面面//
a //
面面平行性质
面面平行性质1
线面平行性质
A
//
a , b
//
—a//c)
a //
a
a II
a // b
a
//
//
2.线线、线面、面面垂直关系的转化:
a, b
O
I a, l
线面垂直判定1
a b
三垂线定理、逆定理 p—一
PA__, AO为PO 冷I线线丄匸
在内射影
则 a OA a PO
a PO a AO
3.平行与垂直关系的转化:
线面垂直定义
面面垂直判定
t面面丄
?面面垂直性质，推论
b
,a b
面面垂直定义
I，且二面角 I
成直二面角
线面垂直判定2
/ /
￡2
b7
a
a
2
T
J
4.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。
5?唯一性结论:
应坤中常輛于“反 证法
应坤中常輛于“反 证法W同一法
过直线外一点，有且只有一条直线与己知直线平汗
过空间一点，有且貝有一条直线与己知平面垂直
过空间一点，有且只有一个平面与己知直践垂直
（三）空间中的角与距离
1.
三类角的定义:
(1)
异面直线所成的角B:
<0 90
i:
9
0?
直线与平面所成的角:
<090
0时，b//或b
.面角：二面角的平面角0,
0°<0180
（三垂纯定理法）
2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”
2.
三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”
即：（1 ）找出或作出有关的角;
（2）证明其符合定义;
（3）指出所求作的角;
（4）计算大小。
3.
空间距离：将空间距离转化为两点间距离一一构造三角形,
解三角形，求该线段的长。
4.
4.
点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
【典型例题】
1的正方体 ABCD — AiBiCiDi中，M、N分别是 AiBi和BBi的中点，那么 AM 与CM 所成角
的余弦值为（ ）
B-T
C.5
D.2
分析：如图，取AB中点
E,
CCi 中点 F 连结 BiE、BiF、EF
则 Bi E//AM ,
BiF//NC
ZEBiF 为 AM
与CN所成的角
又棱长为i
BiE
cos EBi F
BiF2
选 D
例3.已知直线I
BiE2
BiE BiF
平面
EF2
直线m
平面
,有下面四个命题:
① / I m
③I / /m
其中正确的两个命题是（
A.①与②
B.③与④
C.
分析:
对于①
对于②
对于③
I // m
I
对于④I m /
①③正确，选D
//
I //m
//
②与④
D.①与③
①正确
//
?②错
?④错
例4.如图，在四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD丄底面 ABCD , PD=DC , E是PC的
中点，作 EF丄PB交PB于点F。（ 1 ）证明PA//面EDB。（ 2）PB丄平面 EFD。
证：（1 ）连AC , AC交BD于0，连EO
底面ABCD是正方形
点0是AC中点
又E为PC中点
EO//PA
又E0 面EDB，且PA 面EDB
（2 ） VPD 丄底面 ABCD
又 BC DC且PD DC D
又E为等直角三角形中点
DE丄面 PBC 「.DE 丄 PB
BC丄 PD
BC 丄面 PDC 「.BC丄 DE
DE PC且PC BC C
又已知 EF PB且EF DE E
PB 丄面 DEF
例5.正三棱柱 ABC — AiBiCi中,
ABi丄BCi，求证:
AiC丄 BCi。
证明：设E、Ei分别是 BC、BiCi的中点，连 AE, AiEi, BiE, EiC
则 AE 面 Bi BCCi, Ai Ei 面 B BCCi 及EBi // EiC
AE 面 Bi
AE 面 BiBCCi
ABi BCi
EBi BCi
EBi //EiC
Ei C BCi
A Ei 面Bi BCCi
AiC BCi
注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例6.下列正方体中，I是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明 I丄面MNP。
G -N分析.①I在侧面的射影显然与MP、MN垂直
G -
N
MP I, MN I I 面MNP
显然I分别与MN在底面上射影垂直及与MP垂直
I 面MNP
如图，取棱 AiA、DC、B1C1的中点，分别记为 E、F、G ,显然EMFNGP为平面图形，而 DiB与该平
面垂直
I 丄面 MNP
例7.如图，斜三棱柱ABCA'B'C' 中,
例7.如图，斜三棱柱ABC
A'B'C' 中, AC' A'B, AA' AC
求证：面 AA'C'C 面ABC;
8,N分析:要证明面AA'C'C面ABC，只要证明BC
8,
N
分析:
要证明面AA'C'C面ABC，只要证明BC
面AA'C'C，又BC AC,只要
证明BC AC'，故只要证明AC'平面A'BC
证明：(AA'C'C为菱形 AC' A'C
又 AC' A'B
AC'面 A'BC
AC' BC
又/ACB=90。，即AC 丄 BC
BC 面AA'C'C
DE AD在 Rt ABC
DE AD
在 Rt ABC中 BC AB
DE
4 6 12
10 5
又BC 面ABC 面ABC 面AA'C'C
(2) 作 A'D AC于 D
面AA'C'C 面ABC, AC为交线 A' D 面ABC
Z A'AD为侧棱AA与底面成的角，即/ A'AC 60°
过D作DE AB于E,连结A'E，则A'E AB
又 AD 8cos60 4，A'D 8sin60 4.3
D为AC中点
A'E . A'D2 DE2 .'(4.3)2 (12)2 8 . 21
5 5
S平行四边形
S平行四边形A'ABB'
8 ■■— —
10 21 16.21
5
例 8.已知
例 8.已知 Rt △KBC 中，/C=90
,AC=8 , BC=6 ,
D、E分别是AB、AC的中点，沿 DE将△ABC折成直
面角，使A到A '的位置(如图)。求：
(1 ) C到A' D的距离；
(2 ) D到平面A ' BC的距离；
(3 ) A ' D与平面A ' BC所成角的正弦值。
解：(1 )二面角A ' - DE- B是直二面角
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又 A' E± ED, CE丄 ED
作EF± A' D于F,连结
在 Rt △' ED 中，EFA'
FC EF2 EC2
ED 丄面 A'
CF,贝U CF丄 A '
D=A ' E ED
(；)2 42
EC及EC丄面A ' ED
D /-CF即为
EF
C点到直线A ' D的距离
12
(2) DE//BC, BC 面A'BC , DE / 面A'BC
DE//
面 A' BC
E到面A' BC的距离即为 D点到平面A ' BC的距离
过E作EM丄A ' C于M TED丄面 A' EC 又BC//ED
BC丄面 A ' EC
? EM为E点到平面
或者用体积法:
(3)
A'BC VA' BCD
S BCD A E
S A'BC
BC 丄 EM /-EM 丄面 A ' BC
A'BC的距离即为D点到面A' BC的距离且EM =2.2
即3s
A' BC
Is BCD A'E
3
1
-BC CE A'E
2
1
BC A'C
2
2.2
设A' D与平面A' BC所成角为
又由(2)知D点到面A'BC的距离为h
2一2 及 A'D 5
sin
A' D
9.
如图，直三棱柱 ABC ABQ,中，/ ACB
AA 1,
侧面AAB^的两条对角线交点为D , B1C1的中点为M
(1)
求证：CD平面BDM ;
(2)
求面B1 BD与面CBD所成二面角的大小。
(1)证明：连结 CA1，贝y CA1 .2 BC
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■A
0
热
A
J2
B
月】
CB 2，侧棱
90°，AC 1,
T
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3
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又D为AB中点
CD BD ①
易知AC面BBiCiC
CBi是CD在底面BBGC上射影
故只要BM CBi
设 BM CB1 E
在 Rt CBB1 和 Rt BB1 M 中 CB
BB1
2
1
BB1
MB1
又/ CBB1
Z BB1M 90
Rt CBB1
~ Rt BB1 M
/ BCB1
/ B1BM
又/ B1BM
/ CBM 90
/ BCB1
/ CBM 90
90°
BM CB1
BM
CD
由①②知CD面BDM
(2)解：AB1 、人 1 2
B1D
BD BB1
即厶B1DB为正三角形，取BD中点F,则B1F
BD
又取BC中点N，连结NF
NF 仏1CD
2
又CD
BD
NF
BD
/ NFB1为所求二面角的平面角
又B1N
2) 12
2
BC2 BD2 i22 12
NF
B1F
cos / NFB1
2 2 2
FN FB1 NB1
2 FN FB
在厶DCB1中由余弦定理
■- 3 2
石)
一 3
2
2
所求二面角为
arccos一
3
【模拟试题】
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.选择题
1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ）
A.成异面直线
B.相交
C.平行
D.
平行或相交
2.已知直线a，b，平面 ，，
，有下列四个命题
① a//，a//
//；
②〃，
/
//；
③a ，a
// ;
④a ，
b
a//b //
其中正确的命题有（
)
A.①②③ B.
①②④
C.②③④
D.
以上都不对
3.边长为a的正三角形
ABC 中，
AD丄BC于D，沿
1 BC -a
AD折成二面角B— AD — C后， A点到CDi
A点到CDi的距离为
A点到BD1的距离为
三?解答题
11.四面体 ABCS 中，SB、SC、SA 两两垂直，/ SBA=45 °,zSBC=60 ° , M 为 AB 的中点。求:
(1 ) bc与面sab所成的角；
(2 ) SC与平面ABC所成角的正弦值。
角B — AD — C的大小为（
)
A. 30 ° B.
45 °
C. 60 °
D.
90 °
4?设a，b是两条异面直线，P是a，b外的一点，则下列结论正确的是（ ）
过P有一条直线和a，b都平行
过P有一条直线和a，b都相交
过P有一条直线和a，b都垂直
过P有一个平面与a，b都平行
5?若a，b是异面直线，点 A、B在直线a上，点 C、D在直线b上，且 AD=AC ，BD=BC，则直线 a，b 所成的角为（ ）
A. 90 ° B. 60 ° C.45 ° D. 30 °
.填空题
6?设正方体ABCD aibicidi的棱长为1，则
(3 ) A点到面BDDiBi的距离为
(4) A点到面aiBD的距离为
(5 ) AAi与面BBiDiD的距离为
7.如图，正方形 ABCD中，E、F分别是BC、DC中点，现沿AE、AF、
EF把它折成一个四面体，使 B、D、C三点重合于G,则Va gef =
8.把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60。的二面角， 则点A到BC的距离为 。_
9.如图PA丄O O面，AB是O O的直径，C是O O上的一点,
列结论：① AF丄PB,②EF丄PB，③AF丄BC,④AE丄平面PBC，其中正确命题的序号是
10.平面 平面，其交线为I, A , B , AB与所成角为30。，贝UAB与a所成角的取值范围是
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AB 丄 AD
13.在矩形ABCD中，已知 2 ,E是AD的中点，沿BE将AABE折到△ A' BE的位置，使A'C A'D 。
(1 )求证：平面 A'BE 平面BCDE。
(2 )求A'C和面BCD所成角的大小。
14.如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD中，/ABC=90
(])求 Vs ABCD；
(II)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
SA 丄面 ABCD ,SA=AB=BC=1.1. C2. C3. C【试题答案】
SA 丄面 ABCD ,SA=AB=BC=1
.1. C
2. C
3. C
4. C (当P点和直线a确定的平面 与b平行时，则过P点的直线与a不相交，二B错，当P点在a或b上 时，D不成立)
5. A
(1)二.6._63(3)子，(4
(1)
二.6.
_6
3
(3)
子，(4)彳，(5)
_2
2
a3
7. 24
8.
15
a
4
9.①②③
10.
(0 ° ,60 °
(如图/ ABD >
(如图/ ABD >30
,.90。一启AD >30 °
/BAD <60 °
三.11.解：(1 )：SC丄 SA, SC± SB
SC丄面 SAB
SB是CB在面SAB上的射影
? ZSBC是直线BC与面SAB所成的角，且为 60 °
(2 )连 SM , CM ,贝U SM 丄 AB (△SAB 为等腰 Rt △)
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AB 丄面 CSM,
设SH丄CM 于H，贝U AB丄SH
?SH丄面ABC
?zSCH为SC与平面ABC所成的角
设 SB=SA=a,
SM
则
a tg60°
一 3a
CM
（忌）2 （；a）2
7a
sin Z SCH
SM .7
CM 7
又AE 面
又AE 面AEB
面AEB丄面PBC
注：“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，却又是面 ABC的斜线。
12.证：（1）VPA丄面ABC , PC在面ABC上射影为 AC
又AB为O O直径 /-BC丄AC /-BC丄PC
BC丄面 PAC
又BC 面PBC 面PAC丄面PBC
（2 ）由（1 ）知BC丄面PAC
又AE 面PACBC 丄 AE，又 PC 丄AE 「.
又AE 面PAC
或者：由（1 ）知面PAC丄面PBC, PC为交线
又AE丄PC /-AE丄面PBC
又AE
又AE 面AEB
面AEB丄面PBC
注：线线垂直 线面垂直 面面垂直
13. （1 ）取BE中点M , CD中点N , 连AM , MN , A' N , M、N分别为中点
A'B A'E, A'C A'D
A' M BE, A'N CD , MN CD
CD 面A' MN
CD A' M
又BE与CD不平行，必相交
A' M 面 BCDE
又 A'M 面 A'BE
面A'BE 面BCDE
(2)连结MC ,
? ? A'M 面BCDE
ZA'CM就是A'C与面BCDE所成的角， 设AB=a ,
A' M 则
在 Rt MNC 中，MC2 MN
NC2
3 2
(2a)
a 2
(2)
在 Rt A'CM 中，tg Z A'CM
2
a
2
10
a
14.分析：易证
AD丄面
SAB
Z A'CM
al
5
VS ABC
(I)
SaBCD
SaBCD
^(AD BC) AB
2
Vs abc
(II)延长
CD、BA交于点E
连结SE,
SE即为面CSD与面
BSA
的交线
又'/DA丄面SAB 过A作AF丄SE于F 连FD，贝U DF丄SE
Z AFD为二面角的平面角
又易知△ SAE为等腰直角三角形,
F为SE中点
AF
2se
又AD
tan AFD
AD 2
FA 2
C
D
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