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522 平行线的判定（二）
2018年上期
〔教学目标〕1、掌握直线平行的条件，并能解决一些简单的问题； 2、初步了解推理论
证的方法，会正确的书写简单的推理过程。
〔重点难点〕 直线平行的条件及运用是重点；会正确的书写简单的推理过程是难点。
〔教学过程〕
一、 复习导入
我们学习过哪些判断两直线平行的方法？
〔投影1〕 （ 1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线平行。
（2） 平行公理的推论：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平 行。
（3） 两直线平行的条件：两条直线被第三条直线所截 ，如果同位角相等，那么这两条直线 平行?
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等，那么这两条直线平行. 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
二、 例题
〔投影2〕例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线 ，那么这两条直线平行 吗？为什么？
S
答：这两条直线平行。
T b丄a c丄a （已知）
/仁/2=90 ° （垂直的定义）
b// c （同位角相等，两直线平行） 你还能用其它方法说明 b // c吗？
方法一： 如图（1）,利用“内错角相等，两直线平行”说明；方法二：如图（ 2）,利
用“同旁内角相等，两直线平行”说明.
a a
（1） （2）
注意：本例也是一个有用的结论。
例2 〔投影3〕如图，点 B在DC上，BE平分/ ABD, / DBE= / A,则BE// AC,请说明 理由。
分析：由BE平分/ ABD我们可以知道什么？联系/ DBE= / A,我们又可以知道什么? 由此能得出BE// AC吗？为什么？
解： BE平分/ ABD
/ ABE= / DBE （角平分线的定义）
又/ DBE= / A
/ ABE= / A （等量代换）
? BE/ AC（内错角相等，两直线平行）
注意：用符号语言书写证明过程时，要步步有据。
四、课堂练习
〔投影2〕1、如图，/仁/ 2=55°，试说明直线 AB CD平行？.
1题 2题
2、如图所示，已知直线a,b,c,d,e, 且/仁/ 2, / 3+Z 4=180 ° ,则a与c平行吗？?为什 么？
作业：
课本17面7, 18面12题（提示：画图说明）。
补充题：如图所示，已知/ 1= / 2,AB平分/ DAB,试说明DC // AB.
第五章复习二（5.2 ）
一、双基回顾
1、 平行线：在同一平面内， 的两条直线叫做 平行线。
2、 两条直线的位置关系：
〔注〕这里指不重合的两条直线，两条直线重合视为一条直线。
判断正误并改错：
两条直线不相交就平行，不平行就相交；
在同一平面内，两条线段不相交就平行；
两条直线的位置关系有：相交、垂直、平行
3、 平行公理：经过直线 有且只有 与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和 平行，那么这两条直线
4、同位角、内错角和同旁内角
两条直线被第三条直线所截， 在截线的 ，被截直线的 的两个角叫做 同位角;
在截线的 ，被截直线 的两个角叫做 内错角；在截线的 ，被截直线 的
两个角叫做同旁内角。
指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。
5、平行线的判定
（1） ，两直线平行；
（2） ，两直线平行；
（3） ，两直线平行 .
如图，判断DE// AC的条件有哪些？依据是什么?
二、例题导引
例1如图，下列推理中正确的有〔 〕
因为/ 1 = 7 2,所以BC// AD
因为/ 2=7 3,所以AB// CD
因为7 BCD-7 ADC=180,所以 BC// AD
因为7 BCD-7 ADC=180,所以 BC// AD.
AA、1
A
A、1个
C、3个
例2如图，BE平分7 ABC 7 1 = 7 2，你能推断哪两条线段平行？说明理由。
例3 如图，已知 AC丄AE,BD丄BF, 7 1 = 7 2,AE与BF平行吗？为什么?
三、练习提高
夯实基础
TOC \o "1-5" \h \z 、下列说法正确的有〔 〕
不相交的两条直线是平行线 ；②在同一平面内，不相交的两条线段平行；③过一点有且
只有一条直线与已知直线平行 ；④若a // b,b // c,则a与c不相交.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
、在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是〔 〕
A. 平行或相交 B.垂直或相交 C.垂直或平行 D. 平行、垂直或相交
3、如图，点E在CD上，点F在BA上,G是AD延长线上一点.
⑴若/ a= / 1,则可判断 // ，因为 .
若/仁/ ,则可判断 AG // BC,因为 .
若/ 2+ / =180 :则可判断 CD // AB,因为 .
3题
4、如图，光线 AB CD被一个平面镜反射，此时/ 1 = / 3,/ 2=7 4,那么AB和CD的位 置关系是 , BE和DF的位置关系是 .
4 题 5
5、如图，一个合格的变形管道 ABCD需要AB边与CD边平行，若一个拐角/ ABC=72°
则另一个拐角/ BCD= 时，这个管道符合要求?
6、 不相邻的两个直角，如果它们有一边在同一直线上 ，那么另一边相互〔 〕
A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.平行或垂直或相交
7、 如图,AB // EF,/ ECD= / E,则 CD // AB.说理如下:
?// ECD= / E ( )
CD // EF( )
又 AB // EF ( )
? CD // AB( ).
8、根据下列要求画图
如图(1)所示,过点A画MN BC;
如图⑵ 所示,过点P画PE// 0A,交0B于点E,过点P画PH// 0B,交0A于点H;
⑶ 如图⑶ 所示,过点C画CE// DA,与AB交于点E,过点C画CF// DB,与AB?勺延长线交于 点F.
S □ S
(1) (2) (3)
9、如图所示，已知/仁/2,AC平分/ DAB,试说明DC// AB.
10、如图所示,已知直线a,b,c,d,e, 且/仁/ 2, / 3+Z 4=180° ,则a与c平行吗？?为什
么？
么？
10题
11题 13题
能力提高
〕D. / BAC玄 ACD11、如图1 所示,
〕
D. / BAC玄 ACD
A. / BAD=/ BCD B. / 仁/2; C. / 3=/4
12、在同一平面内，直线a,b相交于P,若a// c,则b与c的位置关系是
13、 如图所示,直线a,b被直线c所截，现给出下列四个条件：？①/仁/ 5;②/仁/7;③/ 2+/ 3=180° ;④/ 4= / 7?其中能说明a// b的条件序号为()
A. ①② B. ①③ C.①④ D. ③④
14、 在同一平面内的三条直线， 若其中有且只有两条直线互相平行， 则它们交点的个数
是〔 〕
A、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
17、已知，如图，点B在AC上,BD丄BE, / 1 + / C=90°,问射线 CF与BD平行吗？试用两种 方法说明理由?
18、如图所示，已知 AB、CD被EF所截,EG平分/ BEF,FG平分/ EFD，且/ 1 + / 2=900,试说明 AB// CD.
B
B
D
探索创新
19、如图，当/ BEF= / B,/ BED = Z B + Z D时，AB与CD有什么位置关系，试说明理 由。
5.3.1 平行线的性质
［教学目标］经历探索直线平行的性质的过程 ，掌握平行线的性质，并能用它们进行简单
的推理和计算.
［重点难点］直线平行的性质是重点；区别平行线的性质和判定，综合运用平行线的性 质和判定是难点。
［教学过程］
一、 复习导入
怎样判定两条直线平行？
这就是说，利用同位角、内错角和同旁内角可以判定两条直线平行，反过来，两条直线 平行，同位角、内错角和同旁内角各有什么关系呢？
二、 平行线的性质
利有练习本上的横线画两条平行线 a// b,然后画一条直线 c与这两条直线相交，标出
所形成的八个角，如图。
度量这些角的度数，把结果填入表内:
角
/ 1
/ 2
/ 3
/ 4
/ 5
/ 6
/ 7
/ 8
度数
哪些角是同位角？它们具有怎样的数量关系 ？哪些角是内错角？它们具有怎样的数量关
系？哪些角是同旁内角？它们具有怎样的数量关系 ？
再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，这种数量关系还成立吗？ 那么由此你得到怎样的事实：
1、 平行线被第三条直线所截，同位角相等，简单说成：两直线平行,同位角相等?
2、 平行线被第三条直线所截，内错角相等，简单说成：两直线平行,内错相等?
3、 平行线被第三条线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行,同旁内角互补. 思考：平行线的性质与平行线的判定有什么关系？
由角的数量关系得出两条直线平行是 “判定”，由两条直线平行得出角的数量关系是 “性
质”，因此，两者的条件和结论正好互换。
你能根据性质1,推出性质2吗？
如上图， a// b /仁/ 2（两直线平行，同位角相等）
又/ 3=7 1（对顶角相等） ? / 2= / 3.
对于性质3,你能写出类似的推理过程吗？
三、 例题
如图是一块梯形铁片的线全部分 ，量得/ D=1O0 ,7 C=115 ,梯形另外两个角分别是多
少度？
分析：梯形有什么特征？ 7 A与7 D、7 B与7 C有什
么关系？ ? I
解： AB // CD ?7 A+ 7 D=180°, 7 B + 7 C=180° 耳 |
? 7 A=180°—7 D=180°— 100°=80°
7 B=180°—7 C=180°— 115°=65°
答：梯形的另外两个角分别是 80°, 65°。
四、 课堂练习
课本21面练习1、2。
五、 课堂小结
这节课我们学习了平行线的性质，要注意平行线的性质与平行线的判定的区别与联系， 以便我们能准确地运用。
作业：
课本22面1题，23面2、3、4、5题。
5.3.2命题、定理
［教学目标］1、了解命题、定理、证明的含义 ，会区分命题的题设和结论。
［重点难点］命题及组成是重点；区分命题的题设和结论是难点。
［教学过程］
一、 情景导入
我们平常说的话细究起来是有区别的，例如，“你吃饭了吗？”与“今天天气不好” 就有区别，前一句表示疑问，没有作出判断， 后一句作出了判断。
数学中象这类对某件事情
作出判断的语句还很多，值得我们研究。
二、 命题
再来看几个句子：［投影1］
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
等式两边都加同一个数，结果仍是等式；
相等的角是对顶角；
如果两条直线不平行，那么内错角不相等；
同位角相等。
这些语句都对某一件事情作出了 是”或 不是”的判断，象这样判断一件事情的语句，叫 做命题。
思考：［投影2］下列语句是命题吗？为什么？
① 蓝蓝的天空白云飘；②这不是坑人吗？③画 AB // CD。
不是命题。因为它们只是对某件事情进行了陈述，表达了疑问，并没有作出判断。
二、命题的构成
命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后面的部分是题设， “那
么”后面的部分是结论。例如，上面命题①中， “两条直线都与第三条直线平行”是已知事
项，是题设，“这两条直线也互相平行”是由已知事项推出的事项，是结论。
有些命题的题设和结论不明显，怎样才能找出题设和结论呢？我们可以将它们改写成
“如果……那么……”的形式。例如，上面命题⑤可改写成：如果两个角是同位角，那么这 两个角相等。
请你把上面的命题②、③改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结 论。
三、命题的真假
上面的命题中有正确的，也有错误的，正确的命题叫做 真命题，错误的命题叫做假命
题，如果是真命题，题设成立，那么结论一定成立，如果是假命题，题设成立，不一定能保 证结论成立。
要确定一个命题是真命题，必须通过推理证实，推理的过程叫做 证明，通过证明是真
的命题叫做定理，定理是推理的依据；要确定一个命题是假命题，只需举一个反例即可。
探究：［投影3］下面的命题是真命题，还是假命题？
1锐角小于它的余角；
2 2
2、 若 a > b 则,a > b.
3、 如图，如果/ 1 = / 2, CE// BF,那么 AB// CD
1是假命题，如65°角的余角是35°，而65°大于35°。
2 2
2、 是假命题，如当 a=— 3,b= — 2时a > b ,而a v b。
3、 是真命题。
证明： CE// BF / C=Z 2 （两直线平行，同位角相等） 又/仁/ 2 （已知）
/ C= / 1 （等量代换）
? AB// CD （内错角相等，两直线平行）
四、课堂练习
［投影4］1、判断下列句子是不是命题：
（1）平行用符号“//”表示；（2）你喜欢数学吗？（ 3 ）熊猫没有翅膀。
2、将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设与结论。
（1）等角的补角相等；（2）负数之和仍为负数；（3）两点确定一条直线。
3、如图，如果 AC// DE /仁/2，那么AB// CD这个命题是真命题，还是假例题?
E
E
五、课堂小结
1命题及构成；
2、公理、定理、证明的概念
作业：
课本23面6题；24面7、8、11、12题。课外完成 24面9、10题。
5. 4平移
〔教学目标〕①经历欣赏、观察、分析图形的过程，理解平移的概念，探索平移的性 质；②通过动手操作，学会平移后图形的画法；③学会用运动的观点分析问题，在欣赏和 操作中获得数学美的熏陶.
〔重点难点〕 平移的性质和作平移后的图形是重点；作平移后的图形是难点。
〔教学过程〕
一、情景导入
仔细观察下面的图案，它们有什么共同特点？
它们都是由一些相同的部分组成的。
能否根据其中相同的部分绘制出整个图案？若能，请你想象可以怎么绘制？
[投影2]
这种绘制方法实际上就是平移。 那么究竟什么是平移？平移有哪些性质？下面我们
就来探讨一下。
二、平移的性质
探究：如何在一张半透明的纸上 ，画出一排形状大小如图 5.4-2的雪人？
[投影3]
可以把半透明的纸盖在图 5.4-2上，先描出一个雪人，然后按同一方向陆续移动这张纸，
再描出第二个、第三个……
观察：在所画的相邻两个雪人中，找出鼻尖 A，帽顶B,纽扣C的对应点A'、B'、C
连接这些对应点，观察得出的线段，它们的位置、长度有什么关系？
［投影4— 5］
可以发现：AA' // BB // CC 且 AA =BB =CC
请你用平推三角尺的方法验证三条线段是否平行 ，用刻度尺度量三条线段是否相等 ?
再作出一些其他对应点的线段，它们是否仍有前面的关系 ？
归纳：［投影6］
①把一个图形整体沿某一方向移动 ，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小
完全相同?
②新图形中的每一个点，都是由原图形中的某一点移动后得到的 ，这两个点是对应点，连
接各组对应点的线段平行且相等 ?
三、平移的概念
一个图形沿着某个方向.移动一定的距离.，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移?
注意：图形平移的方向，不一定是水平的，也不一定是竖直的，如图
［投影7— 8］。
平移在我们日常生活中是很常见的 ?利用平移可以制作出很多美丽的图案，请欣赏： ［投
影9］
如在笔直公路上跑着的汽车， 工厂里传送带上的产品， 大厦中电梯的升降……［投影10
—12］
四、平移作图
例［投影13］如图，平移三角形ABC,使点A移动到点A'画出平移后的三角形 A B' C
0 S
分析：点A移动到点A'"这句话告诉我们什么？
平移的方向和距离。
解：连接AA过点B作AA的平行线I,在I上截取BB ' =AA点B就是点B的对应点. 类似地，你能作出点 C的对应点C '吗？
连接A' B' ,B； C。则厶A' B' C就是平移后的三角形.
反思：1、作平移后的图形必须知道平移的方向和距离； 2、作平移后的图形只须作出几
个关键点。
五、课堂练习
1、［投影14］下图中，图形（2）可以通过图形（1）平移得到吗？
(1)(2)(1)（2）2、［投影15］在下面的六幅图案中, 过平移图案（1
(1)
(2)
(1)
（2）
2、［投影15］在下面的六幅图案中, 过平移图案（1）得到？
（6）中的哪个图案可以通
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3、[投影16]将图中的小船向左平移四格
六、课堂小结[投影17]1、 什么是平移？平移的条件是什么？2、 平移有哪些性质？3、 平移作图形的依据是什么？怎样作平移后的图形? 作业：课本30面1、2、3
六、课堂
小结[投影
17]
1、 什么是平移？平移的条件是什么？
2、 平移有哪些性质？
3、 平移作图形的依据是什么？怎样作平移后的图形? 作业：
课本30面1、2、3、4、5题。
第五章复习三(5.3 — 5.4 )
一、双基回顾
、平行线的性质：
两直线平行，
两直线平行，
两直线平行，
[1]如图，T AB//
EF ( 已知 )/ A+ =180
(
命题是由
DE// BC ( 已知)?/ DEF=
2
题有
[2] 把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行。
式，并指出它的条件和结论。
、平移：图形的平移必须具备两个基本条件，一是
组成的；命
改写成“如果……，那么……”的形
、平移的性质：(1)把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新的图
形与原图形的 完全相同；(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某
一点平移得到的，这两个点是 ，连接各组对应点的线段
[3] 下面2 , 3, 4, 5幅图中图[] 是由图1平移得到的.
1 2
、例题导引
例1 如图，已知/ 1=110 :/2=110 :/3=70 °求/ 4的度数.
例2 如图，已知B、E分别是 AC、DF上的点，/仁/ 2,Z C=/D.
(1) / ABD与/ C相等吗？为什么.
⑵/ A与/ F相等吗？请说明理由.
(」
夯实基础〕、飞机在跑道上滑行、电梯中的人
夯实基础
〕
、飞机在跑道上滑行
、电梯中的人
A. / F,AC B. / BOD,BA
□
2 题 3
C. / F,BA D. / BOD,AC
2d
题
三、练习升华
1 、下列运动不是平移的是〔
A 、屋檐下滴落的雨点 B
C篮球在中飞行 D
2、如图所示，△ DEF经过平移可以得到△ ABC那么/ C的对应角和 ED的对应边分别是 〔〕
3、如图，已知直线AB,CD被直线EF所截,若/ 仁 / 2,?
3、如图，已知直线AB,CD被直线
F列判断不正确的是
F列判断不正确的是
4、女口 3题图,AB //CD,则与/ 1相等的角（/ 1除外）共有[] A.5个 B.4 个 C.3 个 D.2 个
TOC \o "1-5" \h \z 5 、如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路 ，从甲地测得公路的走向是南偏西 56° , 甲、乙两地同时开工，若干天后公路准确接通，则乙地所修公路的走向是 ,因
为 .
H
5 题 8
6、设a、b、c为同一平面内的三条直线
A.设 a丄c,b丄 c,则 a丄 b B.若 a// c,b / c,则 a / b
C. 若 a / b,b 丄 c,贝U a丄 c D. 若 a丄 b,b 丄 c,贝U a丄 c
7、 把命题 同角的余角相等”改写成 如果……，那么……”形式是 .
8、 建筑工人要测验墙壁是否竖直，如图所示，可先在一条狭长的木板上面画一直线 a,
使其平行于木板的一边，再在线的上端 0处钉一只钉子，挂下一条铅垂线 0P然后把板的
这一边紧贴墙壁，这时如果 0P能跟a线重合，则墙壁便是竖直的，是因 为 .
9、 如图9所示,AD/ BC,Z仁78° , / 2=40° ,求/ ADC的度数.
10、如图，已知E、A、B在一条直线上,AD // BC,AD平分/ EAC,则/ B = Z C,试说明理 由?
□
能力提高
11 、如图，O是正六边形 ABCDEF勺中心，下列图形中可由△ OBC平移得到的是[]
、△ OABB 、△ OCD、△ OAF、△ OEF11E13 题12
、△ OAB
B 、△ OCD
、△ OAF
、△ OEF
11
E
13 题
12、一个人驱车前进时
,两次拐弯后，按原来的相反方向前进
这两次拐弯的角度是
A.向右拐85 :再向右拐95 ° B.向右拐85。，再向左拐85 °
C.向右拐85 :再向右拐85 ° D.向右拐85。，再向左拐95 °
13、 如图2所示,已知DE// BC,CD是/ ACB的平分线,/ B=72° , / ACB=40 ,?那么/ BDC 等于
A.78 ° B.90 ° C.88 ° D.92 °
14、 平面内三条直线的交点个数可能有〔 〕
A、1个或3个 B 、2个或3个
C、1个或2个或3个 D 、0个或1个或2个或3
15、 如图所示,把一张长方形纸片 ABCD沿 EF折叠,若/ EFG=50 ,求/ AEG的度数.
16、如图，在三角形 ABC中，CDL AB于D,FG丄AB于G, / 1 = 7 2,试问ED// BC吗？说 说你的理由。
B
B
探索创新
17、如图，直线 AB CD被EF所截，EH是/ GEF的平分线，GF是/ EFC平分线，EH和
GF有什么位置关系，试说明理由。由此猜想，7 MEB平分线与7 MFD的平分线有什么位置关
系？
NBD
N
B
D
、知识结构两条直线 两条直线被第 目 交 三条直线所截本章小结邻补角、对顶角对顶角相等点到直线的距垂线及其性质
、知识结构
两条直线 两条直线被第 目 交 三条直线所截
本章小结
邻补角、对顶角
对顶角相等
点到直线的距
垂线及其性质
二、 回顾与思考
1、 在平面内，不重合的两条直线的位置关系有哪几种？
2、 下面是本章学到的一些数学名词，你能用自己的语言给它们一个简短的描述吗？你 能画出一个图形来表示它们吗？
对顶角 邻补角 垂直 平行
同位角 内错角 同旁内角 平移
3、 什么叫垂线？什么叫垂线段？垂线有哪些性质？
4、 什么是两点间的距离？什么是点到直线的距离？
4、 怎样判断两条直线平行？平行线有什么性质？平行线的性质和直线平行的判定方法 有什么关系？
5、 图形平移时，图形的大小和形状有什么关系？连接各对应点的线段有什么关系？
6、 什么叫命题？命题的结构是什么？怎样确定一个命题是真命题还是假命题？
三、 例题导引
例1如图，已知 AB// CD / A=Z C,用三种方法说明 BC// AD。
B
B
例2 B// CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG?平分/ BEF,若/仁72° ,求/ 2的度数。
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例3如图所示，已知AB //CD,探索下列二个图形中/ P与/ A, / C的关系。
s S
四、布置作业 课本35面复习题5。
13题课外完成。