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初二数学（上）应知应会的知识点
因式分解
因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化 .
．因式分解的方法：常用“提取公因式法” 、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法” .
．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂 .
注意公式：a+b=b+a ； a-b=-(b-a) ； (a-b)2=(b-a)2 ； (a-b)3=-(b-a)3.
4．因式分解的公式：
(1)
平方差公式： a2-b2= （a+ b ）（a- b ）；
(2)
完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2,
a2-2ab+b2=(a-b)2.
5．因式分解的注意事项：
1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；
2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；
3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；
5）因式分解的最后结果要求加以整理；
6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式 .
6．因式分解的解题技巧： （1 ）换位整理，加括号或去括号整理； （2 ）提负号；
3）全变号；（ 4）换元；（5 ）配方；（ 6）把相同的式子看作整体； （ 7）灵活分组；（ 8）提取分数系数；（9 ）展开部分括号或全部括号； （10 ）拆项或补项 .
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7 ．完全平方式：能化为（ m+n ） 2 的多项式叫完全平方式；对于二次三项式
p
2
q
2
x2+px+q ， 有“ x2+px+q
是完全平方式
”.
分式
A
1．分式：一般地，用 A 、B 表示两个整式， A÷B 就可以表示为 B 的形式，如果
A
B 中含有字母，式子 B 叫做分式 .
整式
有理式
2．有理式：整式与分式统称有理式；即 分式 .
3．对于分式的两个重要判断： （ 1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有
意义；（ 2 ）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式
的分子为零，而分母也为零，则分式无意义 .
4．分式的基本性质与应用：
1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分
式的值不变；
分子
分子
分子
分子
即
分母
分母
分母
分母
（ 3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单 .
5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注
意：分式约分前经常需要先因式分解 .
6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注
意：分式计算的最后结果要求化为最简分式 .
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a
c
ac ,
a
c
a
d
ad
7
．分式的乘除法法则：
b
d
bd
b
d
b
c
bc .
a n
an
. （n为正整数）
8
．分式的乘方：
b
bn
.
9．负整指数计算法则：
1
（ 1）公式： a0=1(a ≠0),
a-n= an
(a≠0)；
（ 2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；
a
n
b
n
a
（ 3）公式：
b
a
， b
bm
an ；
4）公式： （ -1 ）-2=1 ， （ -1 ）-3=-1.
．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来
的分式相等的同分母的分式， 叫做分式的通分； 注意：分式的通分前要先确定最简公分母 .
．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂 .
12．同分母
与异分母的分式加减法法则：
a
b
a b ;
a
c
ad
bc
ad bc
c
c
c
b
d
bd
bd
bd .
13 ．含有字母系数的一元一次方程：在方程
ax+b=0(a ≠0) 中,x 是未知数 ,a 和 b
是用字母表示的已知数，对
x 来说，字母 a 是 x 的系数，叫做字母系数，字母 b
是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程 .注意：在字母方程中 ,一般
用 a、b 、c 等表示已知数，用 x 、y、z 等表示未知数 .
．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程 .特别要注意：字母方程两边同
时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.
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．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程 .
．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方
程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.
．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解； 注意：由此可判断， 使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根 .
．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序 .
数的开方
1．平方根的定义：若 x2=a, 那么 x 叫 a 的平方根，（即 a 的平方根是 x ）；注意：
1） a 叫 x 的平方数，（ 2）已知 x 求 a 叫乘方，已知 a 求 x 叫开方，乘方与开方互为逆运算 .
2．平方根的性质：
1）正数的平方根是一对相反数；
2） 0 的平方根还是 0；
3）负数没有平方根 .
3．平方根的表示方法： a 的平方根表示为 a 和 a .注意： a 可以看作是一个
数，也可以认为是一个数开二次方的运算 .
4．算术平方根：正数 a 的正的平方根叫 a 的算术平方根，表示为 a .注意： 0
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的算术平方根还是 0.
5．三个重要非负数： a2 ≥0 ,|a|≥0 ， a ≥0 . 注意：非负数之和为 0，说明它
们都是 0.
6．两个重要公式：
2
（ 1） a a; (a ≥0)
a2
a
a ( a
0)
（ 2）
a (a
0) .
7．立方根的定义：若 x3=a, 那么 x 叫 a 的立方根，（即 a 的立方根是 x）.注意：
3
1） a 叫 x 的立方数；（ 2） a 的立方根表示为 a；即把 a 开三次方 .
8．立方根的性质：
1）正数的立方根是一个正数；
2） 0 的立方根还是 0；
3）负数的立方根是一个负数 .
9．立方根的特性： 3 a 3 a .
10 ．无理数：无限不循环小数叫做无理数 .注意： 和开方开不尽的数是无理数 .
11 ．实数：有理数和无理数统称实数 .
正有理数
有理数
0
有限小数与无限循环小 数
实数
负有理数
无理数
正无理数
无限不循环小数
负无理数
12 ．实数的分类： （ 1 ）
（ 2 ）
正实数
实数 0
负实数 .
13 ．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应 .
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．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示； 如果题目有近似要求， 则结果应该用无理数的近似值表
示 .注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位； （2 ）要求记忆： 2 1.414
3 1.732 5 2.236 .
三角形
几何 A 级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1．三角形的角平分线定义：
A
几何表达式举例：
三角形的一个角的平分线与这个角
(1) ∵AD 平分∠BAC
B
DC
的对边相交，这个角的顶点和交点之
间的线段叫做三角形的角平分线 .
（如图）
2．三角形的中线定义：
A
在三角形中，连结一个顶点和它的对
边的中点的线段叫做三角形的中线 .
B D C
∴∠BAD= ∠CAD
(2) ∵∠BAD= ∠CAD
∴AD 是角平分线
几何表达式举例：
∵AD 是三角形的中线 ∴BD=CD
（如图）
3．三角形的高线定义：
A
从三角形的一个顶点向它的对边画
垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角
B D C
形的高线 .
(2) ∵BD=CD
∴AD 是三角形的中线
几何表达式举例：
∵AD 是 ABC 的高 ∴∠ADB=90 °
∵∠ADB=90 °
（如图） ∴AD 是 ABC 的高
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※4．三角形的三 关系定理：
三角形的两 之和大于第三 ， 三角
形的两 之差小于第三 .（如 ）
A
B C
几何表达式 例：
(1) ∵AB+BC ＞AC
∴
5．等腰三角形的定 ：
有两条 相等的三角形叫做等腰三
角形 . （如 ）
A
B C
(2) ∵ AB-BC ＜AC
∴
几何表达式 例：
∵ΔABC 是等腰三角形 ∴AB=AC
(2) ∵AB = AC
∴ΔABC 是等腰三角形
6．等 三角形的定 ：
几何表达式 例：
有三条 相等的三角形叫做等 三
A
(1) ∵ΔABC 是等 三角形
角形 . （如 ）
B
C
∴AB=BC=AC
(2) ∵AB=BC=AC
∴ΔABC 是等 三角形
7．三角形的内角和定理及推 ：
几何表达式 例：
（1）三角形的内角和 180 °（；如 ）
(1) ∵∠A+ ∠B+ ∠C=180 °
（2）直角三角形的两个 角互余； （如 ）
∴?
（3 ）三角形的一个外角等于和它不相 的两个内角
(2) ∵∠C=90 °
的和；（如 ）
∴∠A+ ∠B=90 °
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※（4 ）三角形的一个外角大于任何一个和它不相 (3) ∵∠ACD= ∠A+ ∠B
的内角 . ∴?
A
A
B C C B B C D
∵∠ACD ＞∠A
∴?
（1） （2） （3）（4）
8．直角三角形的定 ： 几何表达式 例：
A
有一个角是直角的三角形叫直角
三角形 .（如 ）
9．等腰直角三角形的定 ：
两条直角 相等的直角三角形叫
等腰直角三角形 .（如 ）
C B
A
C B
∵∠C=90 °
∴ΔABC 是直角三角形
∵ΔABC 是直角三角形 ∴∠C=90 °
几何表达式 例：
(1) ∵∠C=90 ° CA=CB
∴ΔABC 是等腰直角三角形
∵ΔABC 是等腰直角三角
形
∴∠C=90 ° CA=CB
10 ．全等三角形的性 ： 几何表达式 例：
（1）全等三角形的 相等； （如 ） (1) ∵ΔABC ≌ΔEFG
（2）全等三角形的 角相等 .（如 ） ∴ AB = EF
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(2) ∵ΔABC ≌ΔEFG
A E
∴∠A= ∠E
B C F G
11 ．全等三角形的判定： 几何表达式 例：
“SAS”“ ASA ”“AAS ”“ SSS”“HL ”. （如 ） (1) ∵ AB = EF
A E
B C F G
∵ ∠B= ∠F
又∵BC=FG
（1）（2）
∴ΔABC≌ΔEFG
A
E
(2)
(3)在 Rt ABC 和 Rt
EFG 中
C
BGF
∵ AB=EF
（3）
又∵AC=EG
∴Rt ABC ≌Rt EFG
12 ．角平分 的性 定理及逆定
几何表达式 例：
理：
(1)∵OC 平分∠AOB
（1）在角平分 上的点到角的两
A
CE⊥OB
又∵CD ⊥OA
D
C
距离相等；（如 ）
∴CD=CE
O
EB
（2）到角的两 距离相等的点在
(2) ∵CD ⊥OA
CE⊥OB
角平分 上 .（如 ）
又∵CD = CE
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13 ．线段垂直平分线的定义：
垂直于一条线段且平分这条线段
∴OC 是角平分线
几何表达式举例：
E
(1) ∵EF 垂直平分 AB
的直线，叫做这条线段的垂直平分
A O B
F
∴EF⊥AB OA=OB
线.（如图）
．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
（1）线段垂直平分线上的点和这
M
P
(2) ∵EF⊥ AB OA=OB
∴EF 是 AB 的垂直平分线
几何表达式举例：
∵MN 是线段 AB 的垂直平分线
A C B
条线段的两个端点的距离相等； N
PA=PB
（如图）
(2) ∵PA = PB
（2）和一条线段的两个端点的距
∴点P 在线段 AB 的垂直平分
离相等的点，在这条线段的垂直平
线上
分线上 .（如图）
15 ．等腰三角形的性质定理及推论：
几何表达式举例：
（1）等腰三角形的两个底角相等； （即等边对等角）（如
(1) ∵AB = AC
图）
∴∠B= ∠C
（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的
(2) ∵AB = AC
高”三线合一；（如图）
又∵∠BAD= ∠CAD
（3）等边三角形的各角都相等，并且都是
60 °.（如图） ∴BD = CD
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A A
A
AD ⊥BC
∵ΔABC 是等 三角
B
C （1）
BDC（2）
B
C
（3 ）
形
∴∠A= ∠B= ∠C =60 °
16 ．等腰三角形的判定定理及推 ：
几何表达式 例：
（1）如果一个三角形有两个角都相等， 那么 两个角所
(1)
∵∠B= ∠C
也相等；（即等角 等 ）（如 ）
∴AB=AC
（2）三个角都相等的三角形是等 三角形； （如 ）
(2)
∵∠A= ∠B= ∠C
（3）有一个角等于 60 °的等腰三角形是等 三角形；（如
∴ΔABC 是等 三角形
）
(3)
∵∠A=60 °
（4）在直角三角形中，如果有一个角等于
30 °，那么它 又∵AB = AC
所 的直角 是斜 的一半 .（如 ）
∴ΔABC 是等 三角形
A
A A
(4) ∵∠C=90 °∠B=30 °
C（1） B
（2）（3） C
1
B
B（4） ∴AC= 2AB
C
17 ．关于 称的定理 几何表达式 例：
M
（1）关于某条直 称的两个 A E
O
(1) ∵ΔABC 、 EGF 关于
C F
形是全等形；（如 ）
MN 称
B
G
N
（2）如果两个 形关于某条直
∴ΔABC≌ΔEGF
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对称，那么对称轴是对应点连线
(2) ∵ΔABC 、 EGF 关于
的垂直平分线 .（如图）
MN 轴对称
∴OA=OE MN ⊥ AE
18 ．勾股定理及逆定理：
几何表达式举例：
（1）直角三角形的两直角边 a、
(1) ∵ΔABC 是直角三角
A
形
b 的平方和等于斜边 c 的平方，
即 a2+b2=c2 ；（如图）
∴a2+b2=c2
C
B
（2）如果三角形的三边长有下面
(2) ∵a2+b2=c2
关系 : a2+b2=c2 ，那么这个三角
∴ΔABC 是直角三角形
形是直角三角形 .（如图）
19 ．Rt 斜边中线定理及逆定理：
几何表达式举例：
（1）直角三角形中， 斜边上的中
∵ΔABC 是直角三角形
A
∵D 是 AB 的中点
线是斜边的一半；（如图）
D
（2）如果三角形一边上的中线是
C B
这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形 .（如图）
1
∴CD= 2AB
(2) ∵CD=AD=BD
∴ΔABC 是直角三角形
几何 B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一 基本概念：
三角形、不等边三角形、 锐角三角形、 钝角三角形、 三角形的外角、全等三角形、
角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直
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平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数 .
二 常识：
1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和 .
2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，
其中前两个交点都在三角形内， 而第三个交点可在三角形内， 三角形上， 三角形
外 .注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段 .
3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若 CD ⊥AB ，BE⊥CA ，则
CD·AB=BE ·CA.
A
4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和 .
D
E
5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和 .
B C
6．分别含 30 °、45 °、60 °的直角三角形是特殊的直角三角形 .
7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：
（ 1） AC ·CB=CD ·AB ； （ 2）∠1= ∠B ，∠2= ∠A .
A
D
1
2
C B
8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角 .
9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角
所对的边是对应边 .
10 ．等边三角形是特殊的等腰三角形 .
11 ．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明 .
12 ．符合“ AAA ”“SSA”条件的三角形不能判定全等 .
．几何习题经常用四种方法进行分析： （1）分析综合法；（2 ）方程分析法；（3 ）
代入分析法；（4）图形观察法 .
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．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（ 2）作角等于已知角；（3 ）
作已知角的平分线；（4 ）过已知点作已知直线的垂线；（ 5）作线段的中垂线；（6 ）
过已知点作已知直线的平行线 .
．会用尺规完成“ SAS”、“ ASA ”、“AAS ”、“SSS”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图 .
．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图 .
．几何画图的类型： （1）估画图；（2 ）工具画图；（ 3）尺规画图 .
※18 ．几何重要图形和辅助线：
（ 1）选取和作辅助线的原则：
① 构造特殊图形，使可用的定理增加；
② 一举多得；
③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；
④ 作辅助线必须符合几何基本作图 .
（ 2）已知角平分线 .（若 BD 是角平分线）
① 在 BA 上截取 BE=BC 构造全等，
② 过 D 点作 DE∥BC 交 AB 于 E，构造
A
A
转移线段和角；
E
等腰三角形 .
D
E
D
B
C
B
C
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（ 3）已知三角形中线（若 AD 是 BC 的中线）
①过D点作DE∥AC交 ② 延长 AD 到 E，使 ③ ∵AD是中线
AB 于 E，构造中位线 ； DE=AD A
∴S ABD= S ADC
A
连结 CE 构造全等，转移线 （等底等高的三角形
B D C
E A
段和角；
B D C
已知等腰三角形 ABC 中， AB=AC
① 作等腰三角形 ABC 底边的中线
AD
（顶角的平分线或底边的高） 构造全
A
等三角形；
B D C
E
② 作等腰三角形
构造
新的等腰三角形 .
A
E
B D
等面积）
B D C
ABC 一边的平行线 DE，
A
D E
C B C
（ 5）其它
作等边三角形 ABC ② 作 CE∥AB ，转移角；
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③ 延长BD与AC交于
A
E
D
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一边 的平行线 DE，构
A
E，不规则图形转化为规
E
A
则图形；
造新的等边三角形；
E
B
C
D
BDC
④ 多边形转化为三角
⑤延长BC到D，使
⑥ 若 a∥b,AC,BC 是角平
E
CD=BC ，连结 AD ，直角
分线 ,则∠C=90 °.
形；
A
A
D
O
三角形转化为等腰三角
Aa
BC
C
形；
B
D
C
b
B
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