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2-3 随机变量及其分布
要点归纳
一、离散型随机变量及其分布列
1．(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关
系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这
个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字
母 X， Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量
称为离散型随机变量．
(3)离散型随机变量的分布列：
一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，
x2 ， xi ， x n， X取每一个值 xi (i＝ 1， 2， ， n) 的概率
P(X＝ xi) ＝ pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x 2
xi
xn
P
p1
p2
pi
pn
我们将上表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为
X的分布列．有时为了简单起见，也用等式 P(X＝ xi) ＝ pi ，
i＝ 1， 2， ， n表示 X的分布列．
离散型随机变量的分布列的性质：
① pi≥ 0， i ＝ 1， 2， ，n；
n
pi＝ 1.
＝ 1
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(5)常见的分布列：
两点分布：如果随机变量 X的分布列具有下表的形式，则称 X服从两点分布，并称 p＝P(X＝ 1)为成功概率 .
X
0
1
P
1－p
p
两点分布又称
0－ 1 分布，伯努利分布．
超几何分布：一般地，在含有
M 件次品的
N 件产品中，任取
n 件，其中恰有 X 件次品，则事件
{ X ＝ k} 发生的概率为
P (X＝
k
n－ k
CM CN－M
， k＝ 0， 1， 2， ， m，即
k)＝
n
C N
X
0
1
m
0 n －0
1 n － 1
m n－ m
P
CM CN－M
CM C N－M
CM CN－M
CNn
CNn
CNn
其中 m＝min{ M ， n} ，且 n≤ N，M ≤N， n，M ， N∈ N* .如果随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X
服从超几何分布．
2．二项分布及其应用
(1)条件概率：一般地，设 A 和 B 是两个事件，且 P( A)＞ 0，
P（ AB）
称 P(B|A) ＝ P（ A） 为在事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生
的条件概率． P(B |A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概率．
(2)条件概率的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
②必然事件的条件概率为 1，不可能事件的条件概率为 0；
③如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪ C|A )＝ P(B|A) ＋
P(C|A)．
(3)事件的相互独立性：设 A， B 为两个事件，如果 P(AB )＝
P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立．如果事件 A 与 B
－ － － －
相互独立，那么 A与B，A与 B，A与 B也都相互独立．
(4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n次试
验称为 n次独立重复试验．
二项分布：一般地，在 n次独立重复试验中，设事件 A
发生的次数为 X，在每次试验中事件 A发生的概率为 p，那
么在 n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率为
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P(X＝ k) ＝ Cpk(1－ p)n－ k， k＝ 0，1， 2， ， n.此时称随机
变量 X服从二项分布，记作 X～ B(n， p)，并称 p为成功概
率．两点分布是当 n＝ 1时的二项分布，二项分布可以看成
是两点分布的一般形式．
3．离散型随机变量的均值与方差
均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
x i
x n
P
p1
p2
pi
pn
则称