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《余弦函数的性质》教学设计
教材分析
教材分析
教材通过类比正弦函数的性质的推导得出余弦函数的性质，锻炼学生类比推理的能力。
教学目标
教学目标
【知识与能力目标】
掌握余弦函数的性质及应用。
【过程与方法目标】
类比正弦函数得出余弦函数的性质。
【情感态度价值观目标】
通过图像得出余弦函数性质的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。
教学重难点
教学重难点
【教学重点】
掌握余弦函数的性质。
【教学难点】
余弦函数的性质的应用。
课前准备
课前准备
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
教学过程
教学过程
一、复习导入。
画出余弦函数y＝cos x，x∈R的简图(如图1-6-2)。
图1-6-2
二、探究新知。
余弦函数的性质
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值，最小值
当时，ymax＝1；
当时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝
单调性
在上是增加的；
在上是减少的
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
三、例题解析。
例题1 画出在上的简图，并指出其最值和单调区间。
【解】 列表：
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
1－3cos x
－2
1
4
1
－2
图像如下：
由图像可知，函数在上的最大值为4，最小值为-2，单调增区间为，单调减区间为。
巩固练习1 作出函数在上的图像。
【解】 ①列表：
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝1－eq \f(1,3)cos x
eq \f(2,3)
1
eq \f(4,3)
1
eq \f(2,3)
②作出在x∈上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出在x∈上的图像。
如图所示：
例题2 (1)函数的单调增区间是 ；
(2)比较大小coseq \f(26,3)π coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)π))。
【精彩点拨】
(1) 的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝cos x的单调性相反。
(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较。
【自主解答】 (1)由于y＝cos x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函数y＝1－2cos x的增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)。
(2)由于coseq \f(26,3)π＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(2π,3)))＝coseq \f(2π,3)，
coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13π,3)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,3)))＝coseq \f(π,3)，
y＝cos x在[0，π]上是减少的。
由eq \f(π,3)<eq \f(2π,3)知coseq \f(π,3)>coseq \f(2π,3)，
即coseq \f(26,3)π<coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,3)))。
【答案】 (1)[2kπ，2kπ＋π]k∈Z (2)< 。
归纳：
1．形如y＝acos x＋b(a≠0)函数的单调区间：
(1)当a>0时，其单调性同y＝cos x的单调性一致；
(2)当a<0时，其单调性同y＝cos x的单调性恰好相反。
2．比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行。
巩固练习2 (1)比较大小：coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))与coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))；
(2)求函数的增区间。
【解】 (1)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))＝coseq \f(23π,5)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(3π,5)))＝coseq \f(3π,5)，
coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))＝coseq \f(17π,4)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,4)))＝coseq \f(π,4)。
∵0<eq \f(π,4)<eq \f(3π,5)<π，且y＝cos x在[0，π]上递减，
∴coseq \f(3π,5)<coseq \f(π,4)，
即coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))<coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))。
(2)由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减。
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
∴kπ<x<kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
∴y＝logeq \s\do10(\f(1,2))(cos 2x)的增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z。
例题3 求下列函数的最值。
(1)y＝－cos2x＋cos x；
(2)y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))。
【精彩点拨】 本题中的函数可以看作是关于cos x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解。
【自主解答】 (1)
∵－1≤cos x≤1，
∴当cos x＝eq \f(1,2)时，ymax＝eq \f(1,4)。
当cos x＝－1时，ymin＝－2。
∴函数y＝－cos2x＋cos x的最大值为eq \f(1,4)，最小值为－2。
(2)
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，cos x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，
从而当cos x＝－eq \f(1,2)，即x＝eq \f(2π,3)时，ymax＝eq \f(15,4)；
当cos x＝eq \f(1,2)，即x＝eq \f(π,3)时，ymin＝－eq \f(1,4)。
∴函数在区间上的最大值为eq \f(15,4)，最小值为－eq \f(1,4)。
归纳：
求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
?1?sin x，cos x的有界性；
?2?sin x，cos x的单调性；
?3?化为sin x＝f（x）或cos x＝f（x），利用来确定；
?4?通过换元转化为二次函数。
巩固练习3 已知函数的最大值为1，求的值。
【解】
∵，于是
①当，即时，当时，
ymax＝－eq \f(3,2)a－eq \f(3,2)。
由－eq \f(3,2)a－eq \f(3,2)＝1，得a＝－eq \f(5,3)>－2(舍去)；
②当－1≤eq \f(a,2)≤1，即－2≤a≤2时，当cos x＝eq \f(a,2)时，ymax＝eq \f(a2,4)－eq \f(a,2)－eq \f(1,2)。
由eq \f(a2,4)－eq \f(a,2)－eq \f(1,2)＝1，得a＝1－eq \r(7)或a＝1＋eq \r(7)(舍去)；
③当eq \f(a,2)>1，即a>2时，当cos x＝1时，ymax＝eq \f(a,2)－eq \f(3,2)。
由eq \f(a,2)－eq \f(3,2)＝1，得a＝5，
综上可知，a＝1－eq \r(7)或a＝5。
四、小结：
1．会利用余弦函数的图像准确说出其性质。
2．会求函数的定义域，值域，最值，单调区间，奇偶性。
五、作业：
课本第33页，思考交流题。
教学反思
教学反思
略。
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