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大家的线性代数学习也进行了差不多一半了，对最近所学内容有什么见解，可以 写下来；也可以对所学知识进行一个归纳总结；或者对某种类型的题目有更好的解 法也可以写下来。
要求用word文档提交作业，字数至少500.
线性代数知识归纳总结
A不可逆r（A） nAx
A不可逆
r（A） n
Ax 有非零解
0是A的特征值
A的列（行）向量线性相关 A
r（A） n
Ax 0只有零解
A的特征值全不为零
A的列（行）向量线性无关
ATA是正定矩阵
A与同阶单位阵等价
A P1P2 Ps, pi是初等阵
Rn,Ax 总有唯一解
向量组等价
相似矩阵 具有 反身性、对称性、传递性
矩阵合同
"关于 e,e2, ,en:
称为？n的标准基，？n中的自然基，单位坐标向量;
e?, ?线性无关；
,en
,en
tr(E)= n ;
任意一个n维向量都可以用e,e2, ,en线性表示.
"行列式的计算：①若A与B
"行列式的计算：
①若A与B都是方阵（不必同阶）
A
B
A
B
A
B
|A B
，则
1
B
(1)mn A B
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积ai nai na2n 1a2n 1NNan1an1③关于副对角线:(1)n( n 1)2ai na2n Kan1V逆矩阵的求法：②(AME)初等行变换(EMA 1)aia2AiA2
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积
ai n
ai n
a2n 1
a2n 1
N
N
an1
an1
③关于副对角线:
(
1)
n( n 1)
2
ai na2n K
an1
V逆矩阵的求法：
②(AME)
初等行变换
(EMA 1)
ai
a2
Ai
A2
1
ad
be
at
bt
CT
dt
ai
1
a-
n
a2
a2
a2
an
1
an
an
Ai
An
An1
An
V方阵的幕的性质:
AmAn
Am n
(Am)n (A)mn
V 设 f (x)
m
amX
m 1
am 1x
L aix a°，对n阶矩阵A规定：f (A)
m
am A
i
ai
An 1
m 1 -
am 1 A L
ai A a°E
为A的一个多项式.
AB的列向量为V设Am n, Bn s, A的列向量为1, 2, , n , B的列向量为1,
AB的列向量为
"丄,rs
则：ri A i,i 1,2,L ,s，即卩 A( 1, 2, , s) (A i,A 2,L ,A s) 用A,B中简
若 Wb,L ,bn)T，则 A b 1 b2 2 L bn n 单的一个提
即：AB的第i个列向量ri是A勺列向量的线性组合，组合系数就是i的各分量；高运算速度
AB的第i个行向量*是B的行向量的线性组合，组合系数就是i的各分量.
V用对角矩阵 左乘一个矩阵，相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量;
用对角矩阵 右乘一个矩阵，相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量
V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘 ，
Al
1
与分块对角阵相乘类似
，即：A A22 o
,B
B22
O
Akk
Bkk
AI1B11
A22 B22
AB
O
AkkBkk
V矩阵方程的解法：设法化成(1) AX B 或(II)
XA B
当A
0时，
(I)的解法：构造(AhB)初等行变换
(EMX)
(当B为一列时, 即为克莱姆法则)
(II)
的解法：将等式两边转置化为
atxt
bt ,
用(I)的方法求出XT，再转置得X
V Ax 和Bx 同解(A, B列向量个数相同)，则：
它们的极大无关组相对应，从而秩相等;
它们对应的部分组有一样的线性相关性;
它们有相同的内在线性关系?
V判断1, 2丄，s是Ax 0的基础解系的条件：
1, 2^L , s线性无关；
1, 2,L , s是Ax 0的解；
s n r(A)每个解向量中自由变量的个数
零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交.
单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.
部分相关,整体必相关；整体无关，部分必无关.
原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关.
两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关
两个向量线性相关
对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关
向量组向量组线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 n1个向量线性表示.向量组线性无关 向量组中每一个向量i都不能由其余1个向量线性表示.m
向量组
向量组
线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 n
1个向量线性表示.
向量组
线性无关 向量组中每一个向量i都不能由其余
1个向量线性表示.
m维列向量组
2,
n线性相关
r(A) n;
m维列向量组
1,
线性无关
r(A) n.
中任一向量i (1 wi wn)都是此向量组的线性组合.
r(A) 0 A
线性无关，而线性相关，
线性无关，而
线性相关，则可由
n线性表示，且表示法惟
?矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.
阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数?
?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系.
矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.
向量组等价| 1, 2, , n和1, 2, , n可以相互线性表示?记作：1, 2, , n % 1, 2,, 矩阵等价A经过有限次初等变换化为B.记作：A %B
?矩阵A与B等价 r(A) r(B) 代B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.
矩阵 A 与 B 作为向量组等价 r( 1, 2, , n) r( 1, 2, , n) r( 1, 2, n, 1, 2, , n)
矩阵A与B等价?
?向量组1, 2, , s可由向量组1, 2, , n线性表示
r( 1, 2, n, 1 , 2 , , s) r( 1, 2, , n) r( 1 , 2 , , s) Wr( 1, 2 , , n)?
?向量组1, 2, , s可由向量组1, 2, , n线性表示，且S n，则1, 2, , s线性相关?
向量组1, 2, , s线性无关,且可由1, 2, , n线性表示，则s <n.
?向量组1, 2, , s可由向量组1, 2, , n线性表示，且r( 1, 2, , s) r( 1, 2, , n),则两向量 组等价；
?任一向量组和它的极大无关组等价.
?向量组的任意两个极大无关组等价，且这两个组所含向量的个数相等
?若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等? ?若A是m n矩阵，则r (A) min m, n ,若r(A) m， A的行向量线性无关;
若r(A) n , A的列向量线性无关，即:
1? 2,
线性无关.
向量^式 X1 1 X2 2 L xn n
a11
a12
L
a1n
%
a21
a22
L
a2n
X2
A
,x
M
M
M
M
am1
am2
L
amn
Xn
线性方程组的矩阵式 Ax
b2
M
bm
2j
M
mj
,j 1,2,L , n
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可由1,
可由1, 2,l , n线性表示
Ax 有解
Ax 有无穷多解:Ax 有非零解 当A为方阵时 A 0
1, 2丄，n线性相关
Ax 有唯一组解；::Ax 只有零解 当A为方阵时 A 0
1, 2丄，n线性无关
当A为方阵时克莱姆法则
r(A) r(AM )
不可由1, 2丄，n线性表示 Ax 无解 r(A) r(AM )
r(A) 1 r(AM )
矩阵转置的性质：
(At)t a
(AB)t btat
(kA)T kAT
at|
IA
(A B)t At Bt
矩阵可逆的性质：
(A1)1 A
1 1 1
(AB) B A
1 1 1
(kA) k A
A1
IA1
(A1)T (AT)1
(A1)k (Ak) 1 Ak
伴随矩阵的性质：
(A) |An2A
(AB) B A
n 1
(kA) k A
Al
艸1
(A 1) (A) 1 什
(AT) (A )T
(A)k (Ak)
AA A A | A E
n 若 r(A) n
r(A) 1 若 r(A) n 1
0 若 r(A) n 1
AB |A B
网 kn|A
Ak| |Ak
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线
性
方 程 组 解
的
性 质
(1)
1, 2是Ax 0的解，4 2也是它的解
⑵
是Ax
0的解,对任意k, k也是它的解
齐次方程组
⑶
1, 2丄
,k是Ax 0的解，对任意k个常数
1 , 2 丄■
,k, 1 1 2 2 k k也是它的解
⑷
是Ax
的解，是其导出组Ax 0的解，
是Ax
的解
(5)
1, 2是Ax 的两个解，r 2是其导出组
Ax 0的解
2是Ax
的解,则1也是它的解 1
2是其导出组
Ax 0的解
⑺
1 , 2丄
,k是Ax 的解，则
V设A为m n矩阵若r(A)m,则 r(A) r(AM),从而
V设A为m n矩阵若r(A)
m,则 r(A) r(AM),从而 Ax
定有解.
当m n时，一定不是唯一解
方程个数 未知数的个数
向量维数 向量个数
1 1 2 2 k k 是 Ax 0 的解 1 2 k 0
组线性相关?
m是r(A)和r(AM )的上限.
V矩阵的秩的性质：
r(A) r(AT) r(ATA)
r(A B)<r(A) r(B)
r( AB) <min r(A), r(B)
④ r(kA)
④ r(kA)
r(A)若 k 0
0 若k 0
r(A) r(B)
若A 0,则r(A) >1
若Amn,Bns,且「(AB) 0,则r(A) r(B) <n
若P,Q可逆，则 r(PA) r(AQ) r(A)
若A可逆,则r(AB) r(B)
若B可逆,则r(AB) r(A)
若r(A) n,则r(AB) r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律
AB 0 B
AB AC B C 标准正交基n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.
与正交 (，)0.
是单位向量|| | J( , ) 1.
V内积的性质：①正定性：(，)0,且(，)0
对称性：(，)(，)
TOC \o "1-5" \h \z 双线性：(，！ 2) ( , 1) ( , 2)
(1 2, ) ( 1, ) ( 2,)
(c , ) (c , ) ( ,C )
施密特 1, 2, 3线性无关,
1 1
正交化 23(2, 1 )(
正交化 2
3
(2, 1 )
(1 1)
(3, 1 )
(1 1)
(3, 2)
(2 2)
单位化:
1
2_
_2_
正交矩阵 AAt E .
V A是正交矩阵的充要条件：A的n个行(列)向量构成？n的一组标准正交基.
V正交矩阵的性质：① A A 1 ;
aA A a e；
A是正交阵，则A (或A 1)也是正交阵；
两个正交阵之积仍是正交阵；
正交阵的行列式等于1或-1.
A的特征矩阵 E A.
A的特征多项式 | E A f().
A的特征方程 E A 0. Ax x Ax与x线性相关
V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 n各元素.
V若A 0,则 0为A的特征值，且Ax 0的基础解系即为属于 0的线性无 关的特征向量.
n
V A 1 2L n i tr A
1
V 若
V 若r(A) 1 ,则A 一定可
2
A (a^ a2b2 L anbn)A ,
1 tr A a1b1 a2b2 L anbn,
a
分解为
A
=:b1,
M
b2,
L , bn 、
从而
A
an
的特
征
值为 ：
2 3
L
n 0.
V若A的全部特征值1, 2,L , n , f(x)是多项式，则：
f(A)的全部特征值为f( 1), f( 2),L , f( n)；
当A可逆时,A1的全部特征值为丄，丄,L ,丄，
1 2 n
A的全部特征值为也,￥丄，=
kA
aA bE
A 1
V是A的特征值，则: 2
A
Am
分别有特征值1AV x是A关于 的特征向量，则x
分别有特征值
1A
V x是A关于 的特征向量，则x也是
A与B相似
kA
aA bE
A 1
A2
Am
A
关于
k
a b
丄
2的特征向量?
B P 1AP ( P为可逆阵)
记为：A: B
V A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量.这时,P为A的
特征向量拼成的矩阵，P 1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值?
ki为i的重数.V
ki为i的重数.
"若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似.
A与B正交相似B P
A与B正交相似
B P 1
AP
V相似矩阵的性质：① A 1 :
B 1
②
at :
bt
③
Ak :
Bk
④
E
A
（P为正交矩阵）
若A,B均可逆
（k为整数）
E B，从而A,B有相同的特征值，但特征向
量不一定相同?即:x是A关于0的特征向量，P 1x是B 关于°的特征向量?
从而代B同时可逆或不可逆
r(A) r(B)
tr (A) tr (B)
"数量矩阵只与自己相似.
V对称矩阵的性质：
特征值全是实数，特征向量是实向量；
与对角矩阵合同；
不同特征值的特征向量必定正交；
k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；
必可用正交矩阵相似对角化(一定有 n个线性无关的特征
向量,A可能有重的特征值，重数=n r( E A)).
A可以相似对角化| A与对角阵 相似.记为：A: (称 是A的相似标
V若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重数重复计算) r(A).
"设i为对应于i的线性无关的特征向量，则有:
A 1
A 1, 2 丄，n) (A i,A 2丄，A n) (11,
2 2 ,L ,
n n) 1, 2 ,L , n
2
O
1 44 2 4 43
p
n
1 4 442 4 4 ^3
V 若 A: B, C : D ,贝 U:
V 若 A: B,则 f(A)： f(B), f(A) f(B).
X (X1,X2,L ,Xn)T二次型 f(X1,X2丄,X
X (X1,X2,L ,Xn)T
A与B
A与B合同 B CTAC .
记作：A; B (代B为对称阵,C为可逆阵)
V两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数
V两个矩阵合同的充分条件是： A: B
V两个矩阵合同的必要条件是：r（A） r（B）
，正交变换
V f（Xi,X2丄，Xn） XtAX 经 过 合同变换 X CY 化为
\可逆线性变换
n
f （Xi,X2丄,Xn） diy：标准型.
1
V二次型的标准型不是惟一的，与所作的正交变换有关，但系数不为零的个数是
由r（A） 惟一确定的.
正惯性指数负惯性指数
V当标准型中的系数di为1, -1或0时，则为规范形
V实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数
1
O
1
1
合同.1000
合同.
1
0
0
0
V用正交变换法化二次型为标准形
求出A的特征值、特征向量；
对n个特征向量单位化、正交化;
构造C （正交矩阵），C 1AC
n
的主对角上的作变换X CY,新的二次型为f（X（,X2,L ,Xn） diyi2 ,
的主对角上的
元素di即为A的特征值.
正定二次型 Xi,X2丄,Xn不全为零，f（Xi,X2, L ,Xn） 0.
正定矩阵正定二次型对应的矩阵.
V合同变换不改变二次型的正定性.
"成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
①正惯性指数为n；
A的特征值全大于0 ;
A的所有顺序主子式全大于0 ;
A合同于E，即存在可逆矩阵Q使QtAQ E ;
存在可逆矩阵P，使A ptp （从而A 0）;
⑥ 存在正交矩阵，使ctac c 1ac
（i大于0 ）.
V成为正定矩阵的必要条件： aii 0； A 0.