数学模型与实验报告
姓名：王珂
班级：121111
学号：442
指导老师：沈远彤
数学模型与实验 一、数学规划模型
某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小 时加工成 3 吨 A 型材，每吨 A 获利 2400 元，或者在乙设备上用 8 小时加工成 4 吨 B 型材，每吨 B 获利 1600 元。现在加工厂每天最多能得到 250 吨铝原料，每 天工人的总工作时间不能超过为 480 小时，并且甲种设备每天至多能加工 100 吨A,乙设备的加工能力没有限制。
（1 ）请为该企业制定一个生产计划，使每天获利最大。
（2） 若用 1000 元可买到 1 吨铝原料， 是否应该做这项投资若投资， 每天最多 购买多少吨铝原料
（3） 如果可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工资最多是每小时 几元
（4） 如果每吨 A 型材的获利增加到 3000 元，应否改变生产计划 题目分析：
每 5 吨原料可以有如下两种选择： 在甲机器上用 12 小时加工成 3 吨 A 每吨盈利 2400 元 在乙机器上用 8 小时加工成 4 吨 B 每吨盈利 1600 元 限制条件：
原料最多不可超过 250 吨，产品 A 不可超过 100 吨。工作时间不可超过 480 小 时
线性规划模型：
设在甲设备上加工的材料为 x1 吨，在乙设备上加工的原材料为 x2 吨，获利为 z， 由题意易得约束条件有：
Max z = 7200x1/5 +6400x2/5
x1 + x2 三 250
12x1/5 + 8x2/5 三 480
0 三 3x1/5 三 100, x2 三 0
用 LINGO 求解得：
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
X2
ROW SLACK OR SURPLUS DUAI PRICE
1
2
3
4
做敏感性分析为：
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COFF INCREASE DECREASE
X1
X2
ROW
CURRENT ALLOWABLE
ALLOWABLE
2
RHS
INCREASE
DECREASE
3
4
INFINITY
可见最优解为
x1= 100,
x2=150, MAXz=33600Q
因此最优解为在甲设备上用100
吨原料生产A产品，在乙设备上用150吨原料生产B产品。最大盈利为336000. 由运算结果看约束条件1 (原料)的影子价格是960,即每增加1吨原料可收入 960,小于1000元，因此不购入。
同理可得，每小时的影子价格是 40元，因此聘用员工的工资不可超过每小时 40 丿元。
4、由敏感性分析可得，在最优解不变的前提下，x1予许的变化范围上限是1920, 下限是1280。若每吨A获利增加到3000,价值系数变为1800,在允许范围内， 所以保持原计划不变。
二、微分方程模型
在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增 加。设尾数n(t)的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与 鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本省成正比。 分
别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少 量|n/n|表示，记作E,即单位时间捕获量是 En(t)。问如何选择T和E,使从T 开始的捕获量最大。
基本假设：
鱼塘里的鱼无繁殖，且不会自然死亡。
鱼苗尾数相对减少率为常数。
由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比； 由于消耗引起的每尾 鱼重量的减少率与本身重量成正比。
将鱼简化为椭球体，且其密度分布均匀，初始状态相同。
符号表示
符号
符号说明
n。
鱼塘内初始时刻的鱼尾数
鱼塘内每条鱼初始时刻的重量
n t
鱼塘内t时刻的鱼尾数
m t
鱼塘内每尾鱼t时刻的重量
2
2
k
尾数的相对减少率
ki
重量增加率与表面积的比例
k2
重量减少率与重量本身的比例
s0
初始时刻每尾鱼的表面积
s t
t时刻每尾鱼的表面积
E
捕捞能力
N t
单位时间捕获量
T
捕获量最大的时刻
W
渔网网眼面积
a t
椭球体的长半轴长
b t
椭球体的宽半轴长
c t
椭球体的高半轴长
鱼的体密度
t
标准正态分布函数
u
鱼群表面积的均值
2
鱼群表面积分布的方差
V
椭球体的体积
模型的建立:
由基本假设：
鱼苗尾数n t相对减少率为常数，则可得以下微分方程:
dntdt
dnt
dt
kn t
由基本假设:
由于消耗引起的每尾鱼由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比; 重量的减少率与重量本身成正比。可得以下微分方程：
由于消耗引起的每尾鱼
k.s t k2m t 2
dt
又因为要通过设定渔网网格面积来确定最大捕获量， 而渔网网格面积由每尾鱼的 最小横截面相关，又每尾鱼的横截面面积与鱼的表面积相关。由基本假设中鱼群 的表面积服从正态分布，即：
2
s t u 2 eh
其中U为st的均值，2为st的方差。
则在此条件下：
TOC \o "1-5" \h \z NTPstsT nt 4
又由
N t Ent 5
得：
E P s t s T 6
模型的求解：
关于鱼尾数随时间变化的微分方程组:
dn t
kn t
dt
n 0 n0
可直接求解得：
n t n0e kt
7
又椭球体的体积为:
V 4 abc
3
8
表面积近似为：
2
s 4 abc 3
9
又
m V
10
则可得:
4
4
11则将11式代入式可得:dmtdt4 k13m t4k2m t12m
11
则将
11
式代入
式可得:
dmt
dt
4 k1
3m t
4
k2m t
12
mb
所以求解可得
4 k1
k2
1
3
m°
4 k1
k2
则:
14
15
16
13
不妨设
W b T c T
此时
s T 4aTbTcT
则
s T 4Wa T
由基本假设s t服从正态分布，则
P s t s T
1 P s t s T
st u s T u
1 P
s T u
1
4Wa T u
1
其中 t为标准正态分布函数
则由此将渔网网眼面积和单位时间最大捕获量联系起来， 此时仅需将通过调查将
a t函数进行研究，进而使得P s t sT 取得最大值，则此时
N t P s t s T nt取得最大值
又 E P s t s T
则可通过查找标准正态分布表求得结论。
三、统计回归模型
下表列出了某城市18位35岁一44岁经理的年平均收入X1千元，风险偏好
度X2和人寿保险额y千元，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综
合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的 经理所投保的人寿保险额与年平均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计， 经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度 对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两 个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。
请你通过表中的数据来建立一个合适的回归模型， 验证上面看法，并给出进一步
的分析。
序 号
y
X1
X2
序 号
y
X1
X2
1
196
7
10
49
5
2
63
5 1
11
105
2
3
252
10 I
12
98
7
4
84
6
13
77
4
5
126
4
14
14
3
6
14
5
15
56
5
7
49
4
16
245
1
8
49
6
17
133
8
9
266
9
18
133
6
数学模型
解：为大致分析y与x1和x2关系，首先利用表 1的数据分别作岀y对于x1和x2的散点图(见 图1和图2中的圆点)
x1=[ ]；
>> y仁[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133];
>> p=polyfit(x1,y1,2)
P =
+000 +001
>> x2=0::85;y2=polyval(p,x2); plot(x1,y1,'o',x2,y2)
y对X1的散点图
从图中可以发现，随着 治的增加，y的值有明显向上弯曲的二次增长趋势，图中
的曲线是用二次函数模型
2 y 0 ixi 2 xi
(1)
拟合的。(其中是随机误差)
>> x3=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6];
>> q=polyfit(x3,y1,1)
+001 +001
>> x4=0::15;y3=polyval(q,x4); plot(x3,y1,'o',x4,y3)
2C0150WO501015
2C0
150
WO
50
10
15
y对X2的一次的散点图
图中的曲线从图中可以发现，随着X2的增加，y的值比较明显的线性增长趋势, 是用线性函数模型
图中的曲线
y 0 1X2
（2）
拟合的。（其中是随机误差）
综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型
2
TOC \o "1-5" \h \z y 0 1X1 2x2 3X1
(3)
(3)式右端的xi和X2称为回归变量，° iXi 2X2 3X2是给定年平均收入 Xi、风险偏好度X2时，人寿保险额y的值，其中的参数 0, 1, 2, 3称为回归系 数。还有影响y的其它因素作用都包含在随机误差 中。
模型求解：使用MATLAB统计工具箱的命令regress求解，求解过程如下
>> x1=[ ];
x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6]; x3=x1.*x1; x0=o nes(18,1); x=[x0 xi' x2'
x3'];y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133];
>> [b,b in t,r,ri nt,stats]=regress(y',x,
b =
+001
+000 bint =
+001 +001 +000
+000 +000 stats =
+004 +000
由此得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平 0.05）、检
验统计量R2,F,p的结果见下表
参数
参数估计值
参数置信区间
0
[]
1
[]
2
[]
3
[]
2 24
R = F =11070 p =7.4095 10
结果分析：R2=指因变量y （保险额）的％可由模型确定，F的值远远超过F的 检验的临界值，p远小于，因此模型（3）从整体来看是可用的。
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