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新人教版八年级上册数学知识点总结归纳
第十一章三角形
第十二章全等三角形
第十三章轴对称
第十四章整式乘法和因式分解
第十五章分式
1
第十一章 三角形
、三角形的概念
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边； 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点； 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角， 简称三角形的角。
、三角形中的主要线段
1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
、三角形的稳定性
三角形的形状是固定的， 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
、三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
（ 1）三角形有三条线段
（ 2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（ 3）首尾顺次相接
三角形用符号“ ”表示，顶点是 A、 B、 C 的三角形记作“ ABC ”，读作“三角形 ABC ”。
、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下 ：
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不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下 ：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
、三角形的三边关系定理及推论
1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。
2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
7、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180 °。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 8、三角形的
面积 = 1 ×底×高
2
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多边形知识要点梳理
定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形
多边形 分类 1：
凹多边形
正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
分类 2： 叫做正多边形。
非正多边形：
1、n 边形的内角和等于
180 °（n-2 ）。
多边形的定理
2 、任意凸形多边形的外角和等于
360 °。
3 、n 边形的对角线条数等于 1/2
·n（n-3 ）
只用一种正多边形： 3 、4 、6/ 。
镶嵌拼成 360 度的角
只用一种非正多边形（全等） ： 3、 4 。
知识点一：多边形及有关概念
1 、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 .
（1
）多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个
n 边形有 n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2
）在定义中应注意：
①一些线段（多边形的边数是大于等于 3 的正整数）；
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②首尾顺次相连，二者缺一不可 ;
③理解时要特别注意 “在同一平面内” 这个条件 ,其目的是为了排除几个点不共面的情况 ,
即空间多边形 .
2 、多边形的分类 :
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边
形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图 1 ）.本章所讲的多边
形都是指凸多边形 .
凸多边形 凹多边形
图 1
多边形通常还以边数命名， 多边形有 n 条边就叫做 n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．
知识点二：正多边形
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形
要点诠释：
各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可 . 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形， 只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形
知识点三：多边形的对角线
2 BD
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为四边形 ABCD 的一条对角线。
要点诠释：
从 n 边形一个顶点可以引 (n －3) 条对角线，将多边形分成 (n － 2)个三角形。
(2)n
边形共有
条对角线。
证明：过一个顶点有 n －3 条对角线 (n ≥3 的正整数 )，又∵共有
条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸 n
n 个顶点，∴共有
边形，共有
n(n-3)
条对角线。
知识点四：多边形的内角和公式
1.
公式： 边形的内角和为
.
2.
公式的证明：
证法 1 ：在 边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成 个三角形，这 个
三角形的内角和为 ，再减去一个周角，即得到 边形的内角和为 .
证法 2 ：从 边形一个顶点作对角线，可以作 条对角线，并且 边形被分成
个三角形，这 个三角形内角和恰好是 边形的内角和，等于
.
于这
证法
3：在 边形的一边上取一点与各个顶点相连，得
个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，
个三角形，
边形内角和等
即 .
要点诠释：
注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。
内角和定理的应用：
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①已知多边形的边数，求其内角和；
②已知多边形内角和，求其边数。
知识点五：多边形的外角和公式
1.公式：多边形的外角和等于 360 °.
2.多边形外角和公式的证明： 多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角， 所以 边形的
内角和加外角和为 ，外角和等于 .
注意： n 边形的外角和恒等于 360 °，它与边数的多少无关。
要点诠释：
外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数 .
多边形的边数与内角和、外角和的关系：
① n 边形的内角和等于 (n －2) ·180 °(n ≥3，n 是正整数 )，可见多边形内角和与边数 n 有关，每增
加 1 条边，内角和增加 180 °。②多边形的外角和等于 360 °，与边数的多少无关。
知识点六：镶嵌的概念和特征
、定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面 (或平面镶嵌 )。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。
、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360 °；相邻的多边形有公共边。
、常见的一些正多边形的镶嵌问题：
(1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和
为 360 °。
只用一种正多边形镶嵌地面
对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问
题的关键在于正多边形的内角特点。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成
一个周角 360 °时，就能铺成一个平面图形。
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事实上，正 n 边形的每一个内角为 ，要求 k 个正 n 边形各有一个内角拼于一点，
恰好覆盖地面，这样 360 °＝ ，由此导出 k＝ ＝2 ＋ ，而 k 是正
整数，所以 n 只能取 3,4， 6 。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。
注意：任意四边形的内角和都等于 360 °。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。
用两种或两种以上的正多边形镶嵌地
面
用两种或两种以上边长相等的正多边形
组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处
各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用
正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三
角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以
作平面镶嵌，见下图：
又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为
它们的交接处各角之和恰好为一个周角 360 °。规律方法指导
1 ．内角和与边数成正比：边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少 . 每增加一条边，
内角的和就增加 180 °（反过来也成立），且多边形的内角和必须是 180 °的整数倍.
2 ．多边形外角和恒等于 360 °，与边数的多少无关 .
3．多边形最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形） ；多边形的外角中最多有三个钝
角，最少没有钝角 .
．在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是解决本节问题的常用方法 .
．在解决多边形的内角和问题时，通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本
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图形，是研究复杂图形的基础，同时注意转化思想在数学中的应用 .
经典例题透析
类型一：多边形内角和及外角和定理应用
1．一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形？
总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用 . 只要设出边数 ，根据
条件列出关于 的方程，求出 的值即可，这是一种常用的解题思路 .
举一反三：
【变式 1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为 1800 °，求这个多边形的边数 .
【变式 2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为
2750 °，求这个多边形的内角和是多少？
【答案】设这个多边形的边数为 ，这个内角为 ，
.
【变式 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为
类型二：多边形对角线公式的运用
【变式 1】一个多边形共有 20 条对角线，则多边形的边数是（
A．6 B．7 C．8 D．9
1350 °，求这个多边形的边数。
）.
【变式 2】一个十二边形有几条对角线。
总结升华：对于一个式，以后只要用相应的上才能记得牢。
n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律 条，牢记这个公 n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之
类型三：可转化为多边形内角和问题
【变式 1】如图所示，∠ 1+ ∠2+ ∠3+ ∠
4+ ∠5+ ∠6=__________.
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【 式 2】如 所示，求∠ A ＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＋∠F 的度数。
型四： 用
4．如 ，一 小汽 从 P 市出 ，先到 B 市，再到 C
市，再到 A 市，最后返回 P 市， 小汽 共 了多少度角？
思路点 ：根据多 形的外角和定理解决 .
一反三：
【 式 1】如 所示，小亮从 A 点出 前 10m ，向右 15 °，再前 10m ，又向右 15 °，?， 一直走下去，当他第一次回到出 点 ，一共走了 __________m.
【 式 2】小 从点 A 出 向前走 10 米，向右 36 °，然后 向前走 10 米，再向右
36 °，他以同 的方法 走下去，他能回到点 A ？若能，当他走回点 A 共走了多少米？若不能，写出理由。
【 式 3 】如 所示是某厂生 的一 模板，已知 模板的 AB ∥CF，CD∥AE. 按 定 AB 、CD 的延 相交成 80 °角，因交点不在模板上，不便 量 . 傅告
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徒弟只需测一个角，便知道 AB 、CD 的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说
明理由 .
思路点拨：本题中将 AB 、CD 延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为 540 °，又由 AB ∥CF，CD∥AE，可知∠BAE+ ∠AEF+ ∠EFC=360 °，从540 °中减去80 °再减去360 °，剩下∠C 的度数为 100 °，所以只需测∠C 的度数即可，同理还可直接测∠ A 的度数 .
总结升华：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线 .
类型五：镶嵌问题
5．分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图。
正方形和正八边形；
正三角形和正十二边形； (3) 正三角形、正方形和正六边形。
思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角， 那么这些多边形就能作平面镶嵌。
解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别是 60 °、
90 °、120 °、135 °、150 °。
(1) 因为 90 ＋2 ×135 ＝360 ，所以一个顶点处有 1 个正方形、 2 个正八边形，如图 (1)
所示。
(2) 因为 60 ＋2×150 ＝ 360 ，所以一个顶点处有 1 个正三角形、 2 个正十二边形，如图
所示。
(3) 因为 60 ＋2×90 ＋ 120 ＝360 ，所以一个顶点处有 1 个正三角形、 1 个正六边形和 2
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个正方形，如图 (3) 所示。
总结升华：用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形
“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。举一反三：
【变式 1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；
④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是 ( )A、① B、② C、③
、④
解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形的木板可以用，不
能用正五边形木板，故
【变式 2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合， 其中两块木板的边数都是 8，则第三块木板的边数应是 ( )
A、4 B、5 C、6 D、8
【答案】 A （提示：先算出正八边形一个内角的度数，再乘以 2 ，然后用 360 °减去刚才得到的积，便得到第三块木板一个内角的度数，进而得到第三块木板的边数）
练习
1 ．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为 600 °，求这个多边形的边数．
2 ．n 边形的内角和与外角和互比为 13 ： 2，求 n ．
3 ．五边形 ABCDE 的各内角都相等，且 AE＝DE，AD ∥CB 吗？
．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？
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5 ．四边形 ABCD 中，∠A+ ∠B=210 °，∠C＝ 4 ∠D ．求：∠C 或∠D 的度数．
6 ．在四边形 ABCD 中， AB＝ AC＝AD ，∠DAC ＝ 2∠BAC ．
求证：∠DBC ＝2 ∠BDC．
第十二章 全等三角形
一、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、 翻折、旋转可以得到它的全等
形。
、全等三角形有哪些性质
（1 ）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2 ）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3 ）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
、全等三角形的判定
边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)
边角边 :两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“ SAS”)
角边角 :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ ASA ”)
角角边 :两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ AAS ”)
斜边 .直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“ HL ”)
、证明两个三角形全等的基本思路：
二、角的平分线：
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1 、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等 .
、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。三、学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1): 要正确区分“对应边”与“对边” ，“对应角”与 “对角”的不同含义；
（2 ）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3 ）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4 ）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时， 互相重合的顶点叫做对应顶
点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，
夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于” 。如△ABC ≌△DEF，读作“三角形 ABC 全等于三角形
DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或 “ASA ”）
3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）。直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理） ：有斜边和一
条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL ”）
4、全等变换
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只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：
1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180 °，这种变换叫做对称变换。
3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
第十二章 轴对称
一、轴对称图形
把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能与另一个图形完全重合， 那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点 ,叫做对称点
、轴知对识称图回形顾和轴：对称的区别与联系
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
图形
区别
联系
轴对称图形 轴对称
A A'
A
B
B
C
C'
B'
C
(1)
轴对称图形是指 (
一个
(1)
轴对称是指 (
两个
图形
)
)
具 有特殊形状的图形 ,
的位置关系 ,
必须涉及
只对 ( 一)个
图形而言 ;
( 两)个 图形;
(2)
对称轴 (不一)定 只有一条
(2)
只有 (一)条 对称轴 .
如果把轴对称图形沿对称轴
如果把两个成轴对称的图形
分成两部分 , 那么这两个图形
拼在一起看成一个整体 , 那
就关于这条直线成轴对称 .
么它就是一个轴对称图形 .
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
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③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三 、 用 坐 标 表 示 轴 对 称 小 结 ：
在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标相等 ,纵坐标互为相反数 .关于 y 轴对称的点横坐标
互为相反数 ,纵坐标相等 .
点（ x, y ）关于 x 轴对称的点的坐标为 ______.
点（ x, y ）关于 y 轴对称的点的坐标为 ______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形 )知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）
、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 （等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 600 。
、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 0 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
、等腰三角形的性质
1）等腰三角形的性质定理及推论：
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定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论 1 ：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边
上的中线、底边上的高重合。
推论 2 ：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60 °。
2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45 ° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角） ，但顶角可为钝角（或直角） 。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b ，则 b <a
2
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠ A，底角为∠ B、∠C，则∠A=180 °—2 ∠B，∠B=
∠C=
180 A
2
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边） 。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论 1 ：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论 2 ：有一个角是 60 °的等腰三角形是等边三角形。
推论 3 ：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质 等腰三角形判定
中 1 、等腰三角形底边上的中线垂直底1、两边上中线相等的三角形是等腰
线 边，平分顶角； 三角形；
2、等腰三角形两腰上的中线相等，并 2、如果一个三角形的一边中线垂直
且它们的交点与底边两端点距离 这条边（平分这个边的对角） ，
相等。 那么这个三角形是等腰三角形
角 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底1、如果三角形的顶角平分线垂直于
平 边； 这个角的对边（平分对边） ，那
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分 2、等腰三角形两底角平分线相等，并
线 且它们的交点到底边两端点的距
离相等。
么这个三角形是等腰三角形；
2、三角形中两个角的平分线相等，
那么这个三角形是等腰三角形。
高 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、1、如果一个三角形一边上的高平分
线 平分底边；
2、等腰三角形两腰上的高相等，并且
它们的交点和底边两端点距离相
等。
这条边（平分这条边的对角） ，
那么这个三角形是等腰三角形；
2、有两条高相等的三角形是等腰三
角形。
角
等边对等角
等角对等边
边 底的一半 < 腰长 < 周长的一半
4、三角形中的中位线
两边相等的三角形是等腰三角形
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（ 1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（ 2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论 1 ：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论 2 ：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论 3 ：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论 4 ：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
第十四章 整式乘除与因式分解
一．回顾知识点
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、主要知识回顾：
幂的运算性质：
am ·an ＝am ＋n （ m 、n 为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am
n
＝ amn
（m 、 n 为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
ab n a n b n （ n 为正整数）
积的乘方等于各因式乘方的积．
am an ＝ am －n （a≠0， m 、n 都是正整数，且 m ＞n ）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
零指数幂的概念：
a0 ＝1 （ a≠0 ）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l．
负指数幂的概念：
1
a－p ＝ ap （ a≠0 ， p 是正整数）
任何一个不等于零的数的－ p （ p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数．
n
p
m
也可表示为：
m
n
p
（m ≠0， n≠0， p 为正整数）
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则
连同它的指数作为积的一个因式．
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， 再把所得的积相加．
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单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
、乘法公式：
①平方差公式：（ a＋ b ）（a－b ）＝ a2－b 2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a＋b ）2 ＝a2＋2ab ＋b 2
（a－b ）2 ＝a2－ 2ab ＋b 2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的
积的2倍．
、因式分解：
因式分解的定义．
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：
（1 ）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2 ）因式分解必须是恒等变形；
（3 ）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形， 因式分解是把和差化为积的形式， 而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
、提公因式法
（1 ）掌握提公因式法的概念；
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（2 ）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3 ）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注
意的是，提取完公因式后， 另一个因式的项数与原多项式的项数一致， 这一点可用来检验是否漏项．
（4 ）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b 2 ＝ （a＋b ）（a－b ）
②完全平方公式： a2＋ 2ab ＋b 2 ＝（ a＋b ） 2
a2－ 2ab ＋b 2 ＝（ a－b ） 2
3.十字相乘法
第十五章 分式
知识点一：分式的定义
A
一般地，如果 A ， B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 B 叫做分式， A 为分子， B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为 0（B 0）
②分式无意义：分母为 0（B 0）
A
0
③分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（ B
0
）
A 0 A 0
④分式值为正或大于 0：分子分母同号（ B 0 或 B 0 ）
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A 0 A 0
B 0 B 0
⑤分式值为负或小于 0：分子分母异号（ 或 ）
⑦分式值为 -1 ：分子分母值互为相反数（ A+B=0 ）
知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。
A A?C A A C
字母表示： B B?C，B B C
，其中 A、B、C 是整式， C 0。
拓展：分式的符号法则： 分式的分子、 分母与分式本身的符号， 改变其中任何两个， 分式的值不变，
即
A A A A
B B B B
注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0 这个限制条件和隐含条件 B 0 。
知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数， 然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分
① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母
分式，叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
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确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
知识点六分式的四则运算与分式的乘方
① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
a ? c
a ?c
b d
b ?d
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
a c
b d
a ? d
b c
a ? d
b ? c
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
a n an
bn
分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
a b a b
c c c
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
a
c
ad bc
b
d
bd
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为
1 的
分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中， 谁在前先算谁， 有括号的先算括号里面的， 也要注意灵活，
提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，
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以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式） 。
知识点六整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对
负整数指数幂一样适用。即
★ am an am n ★ am n amn
★
★
★
ab n
a n bn
★ am an
am n （ a
0 ）
a
n
a n
1
a
n
b
b
n
an
（ a
0 ）
★
a0
1 （ a
0 ）（任何不等于零的数的零次幂都等于 1）
其中 m ， n 均为整数。
科学记数法
若一个数 x 是 0<x<1 的数，则可以表示为数）的形式， n 的确定 n= 从左边第一个 0
10n （ 1 a 10，即 a 的整数部分只有一位， n 为整起到第一个不为 0 的数为止所有的 0 的个数的相反数。
如 0.000000125= 1.25 10-7
7 个 0
10
n
1
a 10
若一个数 x 是 x>10 的数则可以表示为 a
（
，即 a 的整数部分只有一位， n
9 个数字
1.2 10
8
为整数）的形式， n 的确定 n= 比整数部分的数位的个数少
1 。如 120 000 000=
知识点七分式方程的解的步骤
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程）
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⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为
0 ，
则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
知识点八列分式方程
基本步骤
①
审—仔细审题，找出等量关系。
②
设—合理设未知数。
③
列—根据等量关系列出方程（组） 。
④
解—解出方程（组）。注意检验
⑤
答—答题。
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