高三数学教案：椭圆几何性质说课稿

《椭圆的几何性质》说课稿

苏教版《普通高中课程标准实验用书》选修 2－ 1 第二章第 2 节

南山区华侨城中学黎永生

教学设计依据

★奥苏贝尔认知学习理论：能否有效地学习，取决于学生认知结构中已有的观念，其关键是

要能在新信息与学习者原有认知结构相关观念之间建立起非人为的实质性联系。数学学习

的过程，就是个体数学认知结构不断完善的过程，建构良好的数学认知结构是以良好的知

识结构为前提的。施教者应向学生呈现一种与个体已有观念有广泛联系的知识。

★ 《数学课程标准》指出：数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点。

下面我从四个方面对这节课的设计做一个说明。

教学内容

地位和作用

研究椭圆的几何性质是解析几何基本思想的具体体现，也是对用代数方法研究直线的某些性质的一种平行发展，当然也是为即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定基础。课时设计

考虑到对椭圆的性质有较多的拓展，本节内容我把它分成两课时完成，第一课时主要解决范围、对称性、顶点等问题，第二课时完成椭圆的离心率和椭圆性质的简单综合运用教学，将难点分散，学生更容易掌握所学的知识和方法。

教学重点

知识点的学习自然是教学重点，但为了向学生呈现一种与他们的已有观念有广泛联系

的知识结构，向学生提供有价值的数学知识，还要着眼于椭圆几何性质知识结构的建立，进一步加深对解析几何基本思想的理解。

教学目标

★知识与技能：初步理解椭圆的几何性质。

★过程与方法：利用类比、联想等方法，让学生迅速获得椭圆的几何性质的意义。

★情感、态度与价值观：培养学生思维品质，激发学生学习数学的热情。

教学难点

椭圆几何性质在整个平面解析几何中的地位以及它的知识构成成分，是本节课的第一

个难点。突破这个难点，学生将获得良好的数学知识结构，有利于后继的双曲线、抛物线的

学习。

具体的研究方法，如不等式法（反解法）、三角代换法、对称性、顶点的研究方法等，

这些方法的引入及合理运用，是本节课的第二个难点，需要设计相关的问题，调动学生已有

的知识，与新知识建立非人为的实质性联系，迅速激活学生的思维，从而达到突破难点和解

决问题的目的。

教学方法启发式与接受学习相结合。

教学手段用几何画板设计课间辅助教学。

教学程序

根据教学内容、教学设计依据、教学目标要求，本堂课分为五个教学环节，分别是：

引入课题；建立知识框架；理解知识点；深化知识点；小结和练习。

引入课题

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解析几何基本思想，是解析几何知识结构的核心，主导着解析几何知识的发生和发展 “ 必修 2 模块，我们在直角坐标中，建立了直线的方程，并且用代数的方法研究了直

线的一些简单的几何性质，如：两直线的平行、垂直；点到直线的距离等等。这实际上是解

析几何基本思想的具体体现。现在，我们已经求出了直角坐标系下的椭圆方程，这节课要解

决的问题，就是从椭圆方程出发，运用代数的方法研究椭圆的简单的几何性质 ”。设计这段

引导语，是让学生明确椭圆的方程和椭圆的几何性质在解析几何知识结构中的位置，加深对解析几何基本思想的认识，逐步形成对解析几何起主导作用的上位观念，对后继的双曲线、

抛物线的学习产生良好的正迁移。

建立知识框架

椭圆的几何性质的由哪些知识成分构成的？

教学中即使照本宣科地讲解，学生仍然可以掌握知识的结论。但是我认为，椭圆与函

数这两个知识有内在的联系，把这两个知识联系起来，可以使新的知识与学生已有的函数知识建立非人为的实质性联系，这样做不仅对掌握新的知识和培养学生的思维品质有促进作用，而且对后继的双曲线、抛物线学习有良好的影响。

　由此引导学生对研究函数的方法进行回顾

和分析，来激活学生已有的相关知识， “ 高中阶段主要从定义域（ x 范围）、值域（ y 的范围）、

解析式、单调性、对称性、周期性、最大（小）值、图像等方面来研究函数的 ”。我们研究椭圆的一般性质和特殊性质，建立起知识框架：

一般性质：曲线的范围（类似于函数的定义域、值域）；曲线的对称性等；特殊性质。

理解知识点

从椭圆方程出发，用代数的方法研究椭圆上点的横、纵坐标的取值围，研究椭圆曲线的

对称性等问题，对学生来讲仍然是一个崭新的课题。一定会有学生能够从画出的椭圆曲线中

观察出一些结论，在这里，要鼓励学生的发现，同时要强调指出，我们更需要用代数方法来

解决这些问题。

　为了让学生顺利解决问题，我设计以下三个学生已经学过并且能够解决的问题让学生思考讨论，并由此解决提出的问题。

x、 y 都是正数， x + y = 1,求出 x、 y 的取值范围。（点评：温故知新）

用同角三角函数之间的基本关系研究椭圆的范围。（点评：广泛地联想，培养思维品质）

★ 一条曲线关于一条直线、一个点对称的含义和解决方法。（点评：函数方法、直线方法的

回顾，温故知新）

什么是椭圆的顶点？是把这个简单的结论告诉学生，还是把新知识与学生已有的经验联

系起来？我采用了后一种方式。因为 “顶点”在二次函数中出现过，抛物线的顶点就是对称

轴与曲线的交点，用类比的方法得到椭圆顶点的概念的教法，正是向学生呈现一种有价值的

数学！以达到培养学生良好的思维品质，激发学生学习数学的热情的教学目标。

在讲授完长轴、短轴、长半轴、短半轴概念后，本节课的知识教学基本完成，用一道

例题：求椭圆 x2 y2 1 的长轴、短轴的长，写出焦点、顶点的坐标，来巩固所学的基础

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知识。

深化知识点

从三方面进行知识点的深化。

第一，作图，给出两个例题：

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2 2

（1）画出椭圆 x y 1的草图；（ 2）作出函数 y 1 4x2 的图像。

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解决第一个问题，对称性所起的作用是“划归” 。设计问题（ 2），是为了进一步把函数

（图像）与方程（曲线）联系起来，初步把中学阶段的这两块主干知识进行整合。

第二，“对称性”研究

刚才我们用类比的方法明确顶点的代数意义：就是曲线与对称轴的交点。我们进一步

从椭圆和圆的对称性出发来思考轴对称与中心对称的关系，引导学生提出猜想：如果曲线有两条相交的对称轴，那么这条曲线一定是中心对称图形，其交点就是曲线的对称中心。

　得出这个猜测，对双曲线、抛物线的学习有良好的影响。

第三，曲线的范围与函数、方程、不等式的关系

鉴于本节课是圆锥曲线的几何性质的起始课，学生掌握的数学知识有限，所以，只给

出了一个与函数有关的问题。已知 Q (0, 2) ，点 P 是椭圆 x y2 1 上的动点，求 PQ长度

的最大值和最小值。用代数方法解决这个问题的关键，就是把 PQ 长度化为关于 y 的二次函

数，这个函数的定义域就是椭圆中 y 的范围。为了巩固所学知识、加大思维训练，把点 Q(0, 2)

换为 Q (0, a) 作为课后解决的问题。

与学生一道，做出以下重要的结论：曲线的范围，类似于于函数的定义域、值域，如果用曲线 f (x,y)=0 的变量 x、 y 作为函数、方程、不等式的变量，那么，曲线范围就转化为函数的定义域，方程的根、不等式解的范围。

小结和作业

从基础知识、基本方法、基本数学思想等方面，与学生一道，做出本节课的总结。

课堂练习：课本 P32 1、 2（ 1）、（ 2）

课后作业：课本 P32 习题 1、 2、3、 4、思考题。

板书设计

评价方式观察法评价反馈性评价相结合。

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