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摘 要：由于人类的活动对自然资源的消耗等原因，存在于霍金预言中的“地球毁灭日”可能真实存在，我们称其为“地球人类居住临界点”。从自然资源等真正影响人类生存的因素入手，结合一些系统性的方法，我们用数学建模的方式去建立描述“地球人类居住临界点”的 “地球人类居住指标模型”，给出预测地球还能供给人类生存时间的方法，并由此为人类的生存发展给出新的启示。
关键词：人口模型;层次分析;微分方程;线性泛函;人类生存;自然资源
中图分类号：TB 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.17.100
0 引言
人类活动需要自然资源的支持，如果使用不当，自然可能导致资源匮乏，从而影响人类的生存，同时，人类活动也影响着自然资源的变化情况。霍金预言中的那个“地球毁灭日”可能是真正存在的，且并未有前人进行研究，在这里我们称其为“地球人类居住临界点”。我们所要实现的目的，就是用数学建模的方式去建立描述“地球人类居住临界点”的数学模型，从而系统地预测地球还能供给人类生存的时间，并由此为人类的生存发展给出新的启示。我们称此数学模型为“地球人类居住指标模型”。
1 问题提出
1.1 霍金预言
所谓霍金预言，指的是著名物理学家史蒂芬·霍金关于人类命运的预测。他2011年在接受美国著名知识分子视频共享网站BigThink访谈时，称地球将在200年内毁灭，而人类要想继续存活只有移民外星球。
霍金在接受一家网站采访时说：“人类在未来数百年里必须认真考虑自己的生存问题。过去曾出现过多次人类的生存危机，而发生类似情况的频率还会增加，我们需要十分谨慎地避免这类危机。但我是一个乐观主义者，如果人类在未来二百年间能成功向外太空扩张，那么我们就能避免灾难。在过去的一百年里，我们的科学技术取得了卓越的成就，如果我们想延续进步，就不得不放眼外太空。”
霍金指出，人类有望在未来驾驶宇宙飞船做时光旅行，从地球到银河系边缘的漫长路程仅需八十年，这给人类殖民外太空带来了技术上的可能。另外，霍金多次警告说，外星人可能会以掠夺资源为目的入侵地球。
1.2 对霍金预言的理解
霍金预言向我们指出了这样一个问题，地球在不久的未来面临毁灭，这一点听上去似乎荒谬但其实并不难以理解，它并不是指地球会经历恒星爆发或陆地消失等毁灭性的灾难，而是随着时间的推移，我们的地球可能会渐渐变得无法供给人类生存的基本需要，换句话说，这个语言不是地球毁灭，而是人类在地球的毁灭。但是对于霍金所说“两百年以内地球毁灭”，我们并不持相信的态度，因为我们没有看到这个结果“两百年”从何而来，没有数据与计算方法的支持，也就不存在预测的科学性和真实性。所以我们对这位已故的科学巨人做出的预言是十分怀疑的。
然而，却正是这样一个没有数据根据和支持的预言，让我们陷入了思考，的确，人类活动需要自然资源的支持，如果使用不当，自然可能导致资源匮乏，从而影响人类的生存，同时，人类活动也影响着自然资源的变化情况。所以，我们不妨把霍金预言当作一个提醒，其中的那个“地球毁灭日”可能是真正存在的，在这里我们称其为“地球人类居住临界点”。我们所要实现的目的，就是用数学建模的方式去建立描述“地球人类居住临界点”的数学模型，从而系统地预测地球还能供给人类生存的时间，并由此为人类的生存发展给出新的启示。我们称此数学模型为“地球人类居住指标模型”。
2 背景
2.1 自然资源概况
自然资源以自然形式出现在自然界中，不受人们的干扰，在没有人类帮助的情况下多年形成的资源。地球上充满了利用周围环境发展和重新生长的自然资源。有些像水和空气，用于我们的日常生存。其他如煤，天然气和石油也可用于其他需求。所谓十大自然资源是：水，空气，煤炭，石油，天然气，磷，其他矿物，铁，土壤，森林和木材。
除了上面列出的资源外，岩石和沉积物，湖泊和河流，山脉，湿地，沿海海岸，农田，沙地，铜，粘土，锰和石头亦是人类继续消耗的其他一些自然资源。
在目前全球70亿人口中，自然资源需求将不可避免地增加。随着越来越多的国家帮助弱势群体的发展，对这些资源的需求将会增加。
数据指出水、石油天然气、磷、煤炭、 稀土元素等自然资源已经受到当前消费的严重压力。即使全世界都喊出了节约资源的口号，事情也并没有好转，人类每年都在减少对地球上水，土壤，清洁空气和其他资源的回馈。
到2017年8月2日，人类每年使用的资源更多的来源于不可再生，而不是地球在一年内的新产出。下文我们称将一年内的地球产出使用完的时间为“过冲日”。1980年，过冲日在11月，分别在1993年和2000年，提前到了10月和9月。到2016年已经到了8月。虽然它似乎在朝着错误的方向稳步前进，但科学家认为它已经放慢了速度，在2018年，过冲日仍在8月。但不得不说的是，人类仍然没有成为良好的土地管家并改善地球的健康。
2.2 自然资源分析
在人類文明蓬勃发展的今天，自然资源的使用却正面临较大的危机，具体情况如下：
（1）尽管数量巨大，地球上的水能直接被人们生产和生活利用的却微乎其微。地球上有97%的水资源被盐化，仅有3%可利用的淡水资源，而且大部分是主要分布在南北两极地区的固体冰川，在目前技术条件下还无法大规模利用。目前人类比较容易利用的淡水资源，主要是河流水、淡水湖泊水以及浅层地下水。在全部淡水的储量中，这些部分只占0.3%，占全球总水量的十万分之七。据统计，目前，全球80多个国家的约15亿人口面临淡水不足，其中26个国家的3亿人口完全生活在缺水状态。
（2）土地资源告急。全世界现有的可用耕地约占地球陆地总面积的10%。然而由于人类活动的原因，世界土地资源的数量和质量正在不断下降，主要表现在土壤的肥力下降、土壤严重退化、土壤遭受侵蚀、农田被侵占等。据统计，亚洲83%的可耕种土地被使用， 欧洲则有88%，前苏联的比例是61%，北美洲也有一半以上。世界可利用土地资源锐减，土地资源的使用面临着巨大的挑战。
（3）全球森林资源损失严重。其中热带国家受影响最大，990万公顷损失林地面积超过了地球总量的一半。
（4）矿产资源告急。矿产资源是指埋藏于地下或出露于地表，经过地质成矿作用形成的，具有现实或潜在经济价值的天然富集物，是重要的自然资源，社会生产发展的物质基础，现代社会人类生产和生活的必备元素。它们的储量有限，属于不可再生资源。
矿业是人类从事生产劳动的经典领域之一。矿业的发展、矿产资源的开发利用的扩大，对人类社会文明的发展与进步产生了无可替代的促进作用。历史学家将人类古代历史阶段划分为旧石器时代、新石器时代、青铜器时代、铁器时代，其命名都是根据当时人们开发利用的主要矿产种类。
全球使用的90%能源取自化石燃料，即煤炭、石油和天然气，80%以上工业原料取自金属和非金属矿产资源，但这些资源都属于用一点少一点的耗竭性资源，是无法再生的。
3 关于模型的一些假设
由于实际问题的多元化，有很多对结果造成细微影响的干扰因素，在很多情况下针对它们不能用简单的参数进行概括，但这种干扰因素是可以避免的，且对结果影响不大，所以我们忽略这些因素，对数学模型进行简化处理，从而我们做出如下假设：
（1）假设在研究此问题的时间区间内世界人口数量不会出现生物聚变，突增或突减。
（2）假设在这个时间区间内人了社会和平稳定，不会出现全球性天灾和大规模战争。
（3）假设在模型中自然资源总储量不会突变，且每种自然资源储量都是变量时间的函数。
（4）假设在这个时间区间内，由非自然死亡或其他微小因素影响的人口变化，以及与自然资源无关的微小扰动的影响可以忽略不计。
4 基于自然资源体系建立的初步模型
我们采取如上思维导图中的思维模式进行分类，将环境容纳量与人口的关系与环境容纳量和自然资源的关系联立，从而得到下面的数学模型。
4.1 变量及其含义
4.2 自然资源模型
分析各种对人类生存有决定性意义的自然资源，我们总结出以下几个决定性资源：水、大气、土地、化石能源、金属以及其他自然资源。
我们将把它们的储量与时间的关系定义为函数：
LS（t），LW（t），LF（t），LA（t），LM（t），L1（t），L2（t），…
其中每个函数均只需要对相应自然资源的使用情况展开调查并进行分析，即其储量与时间的对应变化进行分析就可得出相应表达式。
BP能源统计数据显示，2012年的世界能源消耗结构中，水电仅占6.7%，可再生能源仅占1.9%，两者总和不到10%，同年世界人口共70亿人，可再生能源可供给的人口在现有的能源结构的情况下不到7亿人。同时，人类数量还在继续上涨，为了维持更多的人口需求，势必会加大资源的利用量，那么，不可再生的能源（如化石等）的储备量与其枯竭时间将与能源可供给人口数有巨大的相关性。
所以，我们认为，如果在不可再生能源枯竭前，马尔萨斯所提出的积极性抑制与预防性抑制不会出现的话，人口的增长是无法避免的，那么人口的增长与能源的使用，会一直有密切的联系。因为我们知道自然资源的储备量是会影响人口的数量增长的，资源储备量越少，人口增长越缓慢，于是结合Logistics人口模型的思想，我们可以得到以下多参量系统：
这就是结合logistics人口模型与多元线性泛函得到的多参量微分方程组。
此系统中的每个指标都是其对应资源的简单函数，通过建立行向量与列向量的乘法，我们建立线性泛函微分方程组，从而确定了时间与各个参量间的关系。这就是我们给出的确定“地球人类居住临界点”的方法。
结合上述模型，我们可以得出一些初步结论，目前地球正处于人口数量的上升阶段，而且人口数量大大高于可再生能源所能支持的人口数目，我们需要降低能源的使用，来养活更多的人，同时，我们需要发展科学技术，提高可再生能源所提供的能源量。也就是说，增加可再生能源在能源结构的占比，以及控制人口数量去延缓能源枯竭的时间等方法，是目前我们正确的努力方向。
4.3 具体案例阐述（以化石能源为例）
4.3.1 化石能源概述
化石能源是一种碳氢化合物或其衍生物。它是由古代生物的化石沉积而来，埋藏在地下与海洋下的不可再生能源。化石燃料中按埋藏的数量的顺序分为如下几个种类，而每个种类的储量均与人类生存有着不可分割的关系。
（1）煤炭。埋藏在地下的植物受地下和地热的作用，经过几千万年乃至几亿年的炭化过程，释放出水分、二氧化碳、甲烷等气体后，含氧量减少而形成的化合物。
（2）石油。水中堆積的微生物残骸，在高压的作用下形成的碳氢化合物。是一种全球使用量最高的化石燃料，其经过精制后可得到汽油、煤油、柴油和重油。石油耗尽的时间较其他几项会较晚来到，然而因为是石化产品的原材料，石油使用量高，用途广泛，故而同样需要作为重点对象。
（3）油页岩。水藻炭化后形成的化合物。
（4）天然气。天然气直接采掘于地下，以甲烷为主。在摄氏零下162度被冷却，液化后使用。
（5）可燃冰。储存在深海低的一种以固态甲烷形式存在的可燃物。
4.3.2 化石能源模型
以上已经将化石能源分为各种类别，而它们也分别对环境容纳量有不同程度的贡献，所以我们要建立独立的能源函数li（t）其中（i=1，2，…），li（t）为储量随时间变化的关系，并给他们赋权，权重表示为bi。于是得到化石能源函数，形如
LF（t）=b1l1（t）+b2l2（t）+b3l3（t）+…+bili（t）+…
其中（i=1，2，…）
以上仅为化石能源对应的简单函数（线性）的获得方法，用相同的方法，我们可以分别得到其他自然资源的时间函数，这里不再详述。
下面主要介绍以层次分析的思想对多层线性函数进行赋权的方法。
4.4 模型赋权的方法
A目前确定权重的方法比较多，从权重数据的来源大概可以分为主观赋权法、客观赋权法和组合赋权法。在本文中，我们采取了主观赋权法，确定影响环境容纳量的指标的权重。
根据指标体系，利用层次分析法确定最大的环境容纳量权重步骤如下：
（1） 构造重要度判断矩阵A。
我们通过两两相互比较各准则对于目标的重要度构造判断矩阵，任取每个函数中的两个子函数在同一时间下的函数值，记为指标因子xi和xj，以aij表示xi和xj对上层指标的影响的大小，则判断矩阵记为A=（aij）n×n。
为使矩阵中的各要素的重要性能够定量表示，引入矩阵判断标度（1-9标度法）进行判断矩阵的确定。若xi和xj对上层指标的影响之比为aij，则xj与xi的重要性之比为1aij。下表列出了1-9级标度的含义（参照美国匹兹堡大学T.Satty教授的分级建议）。
对于装备评价指标判断矩阵的确定我们则通过装备该功能的能力值进行比较。
（2）权重值计算与一致性检验。
判断矩阵A最大特征值的特征向量W，再进行归一化处理，此时该向量就是同一层次对应指标因子与上一层次指标的相对重要度的排序。该构造方法虽然可以减小其他因素的影响，但在综合全部比较结果时，难免会出现非一致性，如果要使比较结果前后完全一致，则矩阵A的元素还应该满足。
aijaji=aik（i，j，k=1，2，…，n）
如果矩阵A的元素满足上述关系，则称矩阵A为一致矩阵.此时，若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W=（w1，w2，…，wn）T（此即为各指标权重向量），则有
aij=wiwj（i，j=1，2，…，n）
此时矩阵A为
A=w1/w2w1/w2…w1/w2
w2/w1w2/w2…w2/wn
wn/w1wn/w2…wn/wn
为了测试由此方法得出权重的合理性，需要对判断矩阵A进行一致性检验，判断矩阵的一致性，具体步骤如下：
（ⅰ）计算一致性指标CI：
CI=λmax-nn-1
（ⅱ）查找相應的平均随机一致性指标RI
表3 一致性指标表
n123456789
RI000.580.901.121.241.321.411.45
（ⅲ）计算一致性比例CR：
CR<CIRI
当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则需要对判断矩阵进行分析修正。
5 定性模型的不足、改进方案与发展方向
不难发现，自然资源模型中并未考虑其他重要因素的影响。在假设前提下，初步模型中可以认为自然资源储量不仅是环境容纳量的决定性因素，也是唯一的因素，所以我们可以建立这样的数学模型。然而在实际情况中，其他人类活动会对自然资源的储备和使用产生影响。如果要得到更确切的地球人类居住指标，我们就需要考虑人类活动的影响，并建立更完善的模型。
其他人类活动的影响，就其本身而言是人类产业对环境的改变以及人类科技文明的发展，前者主要以人类活动破坏生态、污染环境为主，而后者则以提供新的能源方式，提高自然资源利用率为主。也就是说，一个对地球人类居住指标做出正向贡献，而另一个做出负向贡献。因此，目前阶段我们提出的改进建议为，考虑环境污染与科技发展的影响，同样找到他们对环境容纳量的贡献函数以及贡献力权重，建立泛函，找到与初步模型间的关系，从而完善初步的自然资源方程组，得到更加准确的地球人类居住指标模型。
显然，即使这样改进之后，此模型的主体仍是定性的，因为我们能力有限，无法掌握人类活动导致环境变化和人类科技发展的具体指标，而将它升级为定量模型也是需要更深入地进行调查并投入时间和资金进行具体分析模拟的，笔者并不具备这样的能力。
虽然就目前而言笔者给出的定型模型无法直接使用，但此思想方法，无疑在这个方向上看到了一条道路。并且，我们希望通过进一步的努力和数据支持，找到“地球人类居住临界点”，从而证伪霍金预言，未雨绸缪，在模型中得到更多结论，并借此对世界提出改革的建议，从而将人类的未来紧握在我们自己手中。
参考文献
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