条据书信oabc四点共面

oabc四点共面

oabc四点共面

oabc四点共面

向量证明四点共而由n+m+t=l,得t=l-n-m?K入op二nox+moy+toz,得 OP=nOX+mOY+(l-n-m)O乙整理，得

OP-OZ=n(OX-OZ)+m(OY-OZ)即 ZP=nZX+mZY 即 P、X、Y、Z 四点共面。

　以上是充要条件。

2如果通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共 而

A,B,C,D,4 个点，与另外一点 0,若 0A二xOB+yOC+zOD,x+y+z二2,四点就共 而3设一向量的坐标为(x,y?z)o另外一向量的坐标为(a,b,c)o如果 (x/a)=(y/b)=(z/c)=常数,则两向量平行如果ax+by+cz=O,则两向量垂直。

　答案补充三点一定共而,证第四点在该平而内用向量，另取一点0如向 量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量0D,且a+b+c=l则有四点共而 答案补充方法己经很详细了呀° 4线平行线:两条线的方向向量矢量积 为0,且两条线没交点

而平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平而法向量垂直，即线的 方向向量和平而法向量数量积为0,且线不在平而内

三点共而：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC 三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0

四点共而：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量 积3,再3和AD数量积为0

3怎样证明空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,向量0P二X向 量OA+y向量OB+z向量0C且x+y+z=2,则P, A, B, C四点共面 简明地证明，网上的不具体，不要复制！

证明：由x+y+z=l-*x向量OC+y向量OC+z向量0C二向量0C,且：x 向量OA+y向量OB+z向量0C二向量OP

将上边两式相减得：向量0P-向量00x(向量0A-向量OC)+y(向量0B- 向量0

C)即：向量CP二x向量CA+y向量CB

由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平而ABC内一P点必在平而

ABC内。故：A, B, C, P四点共面。

4可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直 线外一点可以确定1个平面)不防设ABC三点共面只需证明P点在这 个平而上即可以下向量符号省去

证明：PA=BA-BP=OA-OB-(OP-OB)=OA-OP=OA-(a 向量 OA+b 向量 OB+c 向量0

C)=(l-a)OA-bOB-cOC=(b+c)OA-bOB-cOC=bBA+cCA

到这里因为ABC已经确定了一个平面且PA二bBA+cCA

所以PA平行平面又A在平面内所以P点也在该平而内，所以四点共 而如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共而的充要条件是 存在有序实数对(x.y),使p二xe+yb

编辑木段共而向量的定义：能平移到同一平而上的三个向量叫做共面 向量编辑本段推论：推论2设OABC是不共面的四点则对空间任意一 点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z)

使得0P二xOA+yOB+zOC{OP,OAQBQC均表示向量}说明：若x+y+z二1则 PABC四点共面(但PABC四点共面的时候，若0在平面ABP内，则 x+y+z不一定等于1,即x+y+z二2是P.A.B.C四点共面的充分不必要条 件)

证明：1)唯一性：

设另有一组实数x,y,z使得0P二xOA+yOB+zOC

则有 xOA+yOB+zOC二xOA+yOB+zOC(x-x)0A+(y-y)0B+(z-z)0O0?.?0A、

OB、0C 不共面.\x-x=y-y=z-z=0 即 x=x> y二y、z=z

故实数x,y,z是唯一的

2)若x+y+z二2则PABC四点共面：

假设 0P二xOA+yOB+zOC 且 x+y+z二2 且 PABC 不共面

那么 z=l-x-y 则 0P二xOA+yOB+OC-xOC-yOC

OP 二 OC+xCA+yCB(CP 二 xCA+yCB)

点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立

推论2

空间一点P位于平而MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使

MP=xMA+yMB{MPMAMB都表示向量}或对空间任一定点0,有 0P=0M+xMA+yMB{0P,0M,MA,MB 表示向量}

选定向量基底，解决常见立体几何问题

利津二中陈富君魏静

我们知道，空间向量的坐标运算成为解决立体几何的垂直与平行的证 明、角与距离的求解等问题的一个十分有效的工具，用空间向量的方 法处理立体几何问题，常常可以收到化繁为简，化难为易，也降低了同 学们学习立体几何的思维难度.但是空间直角坐标坐标系的应用有着 很大的局限性，取而代之，若以有着特殊关系的三个向量作为基底， 通过向量运算将使更多的立体几何问题得到很好的解决?这类问题常 以特殊四面体（或空间四边形），平行六而体，特殊三棱柱等为载体. 一、证明三点共线

例2如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、 H 分别在 BC、CD ±,且 BG:GC=DH:HC = 2:2.设 EG 和 HF 交于点 P, 求证P、A、C三点共线.

解设 DA a,DB b,DC c,贝lj AC DC DA c a,FPFEF3 ,

PF 3FH 1

■

? ?

PA 3FH DF 3DH DF DF 3 DC DF DF 3

DC 2DF DC DA c a

.\PA AC且A为PA、AC公共点，故P、A、C三

点共线BG 二、证明直线平行平面D

A

M

Al 向量a平行平面ABC的充要条件是

a xAB yAC 例 2 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，M. N 分别是 AB2 与 BC1 上的点，且 CNC1AMBN , 求证 MN 〃平而 ABCD. 11 AMBN 解 设

AB

a,AD

b,AAl c,

则

11

? ?

MN

AN

AM AB BN

AM

a BC1

ABl

?

a

BB1 B1C1

AA1 A

1B1

a

c b c

a

1 a

1

b,且

a与b不共线

MN 〃平面

ABCD,

而MN

平面ABCD,故MN〃平而

ABCD ?

三、证明直线垂直直线（或直线垂直平面）

a b a b 0

例3如图，在四面体ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点，求 证：MN是异面直线AB, CD的公垂线的充要条件是：AC=BD, BC= AD.

证明设 AM a,MN b,CN c

必要性若MN是异而直线AB , CD的公垂线，则

a b 0,b c 0

VAC AM MC

N

AM MN NC a b c,

同样的可得

BDa b c, BCa b c,AD a b c

BD

a b c, BC

a b c,AD a b c

2

AC a

b c

2 2

a2

b2

c2 2a

c, BD

a

b

c

2

a2

b2 c2

2a c

因此，AC

= BD,

同理B

C=

AD.

充

分

性

由

AC

——

BD

， 得

a b

c

2

a

b

c 2

a

b b

c?

由

BC

=

AD

得

a b

c

2

a

b

c 2

a

b

b c②

b 0故MN丄AM,同理MN丄CN,即MN是异面直线AB, CD 的公垂①+②得a

线.

四、求异而直线的夹角

例4在正四面体ABCD中，P分别为棱AD、CD的中点，N、Q分 别是而BCD、面ABC的中心，求MN与PQ的夹角.

解设正四而体的棱长为2, 0为BC

中点,

AB

a,AC

b,AD c

,则

a b

c 2, a

b b c c a 2,

1

1

1

MN

AN

AM

AO ON

AD AO

OD AD232 1

1

2

1

1 1

AO AD AO AD AO AD a b C323636QB

2

1 1 1

PQ AQ

AP A

0 AC AD 2a b

C3262M

2 1 1 2

/.MN a b c

1,即 |MN| = |PQ|=1, 6

3

1

1 1 1

MN PQ11MN PQ a

b c

2a b

c , cosMN,PQ 6 62 1818 3MNPQ

1因此，MN与PQ的夹角为arccos 18

空间向量的基底的应用恰恰是教学中的薄弱环节，如果不注意及时补 上这一课，久而久之，应用向量的思维会钝化，甚至会缘木求鱼.篇二:

《四点共而问题探究》

空间四点共而充要条件的应用与探究河北唐山一中姚洪琪063000

平而上的三点共线与空间的四点共面，是平面向量与空间向量问题中 的一类重要题型。在高中数学人教A版选修教材2-1《空间向量与立 体几何》一章中，给出了四点共面的一个判定方法，在配套的教参中 更明确为充要条件。因此有些老师在教学中就给出了如下的空间P、 A、B、C、四点共面的充要条件：对于空间任意一点0,存在实数X、 y、z,使得OP xOA yOB zOC且x+y+z二2。这个结论对于解决空间 四点共而问题提供了很便捷的方法，例如：

问题1：对于空间任一点0和不共线的三点A、B、C,有 60P OA 20B 30C,贝lj ()

(A)0、A、B、C四点共面(B)P、A、B、C四点共面(C)0、P、B、C四点

共面(D)0、P、A、B、C五点共面分析：由条件可以得到OP显然答

案为(B)

问题2：已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点0, 0M xOA

分析：由上而的充要条件很容易得到x 1

13 16

120B

13

0C,贝9

160A

130B

12

0C,而

16 13 12

1,则P、A、B、C四点共而。

O

问题3：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分别是AA1、

AB、AD上一点，且

AP

23

AA1,AM

12

AB,AN

14

AD,对角线AC1与平面PMN交与点H,求H点分AC1的比。

　分析：因为P、M、N、H四点共而，则可设为

AH xAP yAM zAN,且 x+y+z二2

M

Cl

由己知，AP 则AH

2x3

23

AA1,AM y2AB

z4

12

AB,AN

14

AD,

AA1

AD

又 A、H、Cl 三点共线，贝lj AH AC1 rfff AC1 AA1 AB AD 所以,

AH

2X3AA1 y2AB z4AD

AA1 AB AD因为向量AA2, AB, AD不共而，则有：所以,

X

32

2x3 y2 z4 ,

,y 2 , z 4

又因为x+y+z=l,所以,所以,AH

215

AC1

32

+2 +4 =1,解得

215

即：H点分AC2的比为2:13.

以上三个问题的解决都用到了课木中提到的四点共而的充要条件，思 路新颖，解法简洁，确实为学生们解决空间四点共而问题提供了一条 重要的解题思路。但是，学生们在解决xx年全国高考数学试题时， 却出现了困惑和迷茫。甚至对该方法提出了质疑。

xx年高考题为：/ABC的外接圆圆心为0,两条高线的交点为H,若 OH m(0A OB 0C),贝I」。

一部分学生认为，该题可以利用课本中给出的充要条件解决，将本题 看成H、A、B、C四点共面，0为空间任意一点，则应有m+m+m=l, 从而得到m=

13 另外一部分学生认为该题可以采用以下特殊解法，将/ABC看成一个 等腰直角三角形，则容易得到

OH OA OB 0C,于是 m=l.

究竟哪一个答案是正确的？在查阅xx年高考试题答案后知道，正确 答案应该为2,而对于老师给出的结论也是深信不疑的，因为在平面 向量中就曾经得出过类似的问题：平面内三点A、B、C共线的充要条 件是:对于平面内任意一点0,存在实数入、U,使得OA OB 0C, 且入+尸2.课本中的结论其实就是平面向量问题的一个推广。那么第 一种解法究竟错在哪里？这个充要条件正确吗？

如果和上而的结论做一对比的话，就是对本题中的五点共面有所怀 疑，但是教参中并没有强调0点不能与PABC共而。我们再推敲一下 教参中对于这个充要条件的证明，OP OA AP,肯定没有问题，根 据平而向量基本定理，向量AP 一定可以用不共线的向量AB和AC表 示（此处注意，A、B、C三点必须不共线，课木中说的是平而ABC,

教参中也强调不共线），即：

AP= AB

AC 二(OB

OA)

(OC OA)所以，OP OA AP

OA

AB AC

OA

(OB OA)

(OC

OA)

(1

)OA

OB

OC显然其系数和为1.

但是，当0点与P、A、B、C共而时，向量AP也可以用不共线的向

量0B和0C直接表示，即，AP OB 0C ,则

OP OA AP OA OB OC,显然其系数和1 不一定等

于］.

不妨可以看一个五点共面的特殊例子（如右图），对于正 方形ABCD,设其中心为0,则OA OB 0C 0D,其 系数和等于2，但是也可以表示成OA 20B 0C 20D, C

B

其系数和等于3,还可以表示成OA 50B 0C 50D,其系数和等于 9,等等，显然各种不同的表示形式其系数和是不确定的。

问题的症结找到了，如果0点与P、A、B、C共面时，向量0P可以 用OA、OB、0C表示成各种不同的形式OP xOA yOB zOC,表达 形式不确定，其系数和当然也不确定。实际上，问题的关键在于与空 间向量基本定理相悖，当0点与P、A、B、C共而时，向量OP、0A、 OB、0C为共面向量，那么向量0P是不能用OA、OB、0C唯一表示 的。同时，即便0点与P、A、B、C不共面时，也必须?.要求A、B、 C、三点不共线，否则，根据空间向量基本定理，由于向量OA、0B、 0C是共而向量，那么向量0P是不能用OA、OB、0C表示的。 所以，有些老师结合教材和教参中的表述给出充要条件的说法严格说 是不准确的，充分性没有问题，而必要性则需要加以限制。应该表述 成，若空间P、A、B、C四点共面，且A、B、C三点不共线，则对于 空间不与PABC共面的任意一点0,存在实数X、y、z,使得 OP xOA yOB zOC 且 x+y+z二 1.,反之，若 OP xOA yOB zOC 且 x+y+z二 1,则 P、A、B、C 四点共面。

类似可以得到，平面内P、A、B三点共线，则对于不在直线AB上的 点 0,有 OP 0A 0B,且 2;反之,若 OP 0A 0B,

且 1,则P、A、B三点共线。在这里注意，当P、A、B、0

四点共线时，虽有OP 0A 0B,但是、 并不唯一，所以不 一定有 lo

以上所述是否正确，希望得到各位同行的批评指正！篇三：《四点共

而问题探究》

四点共而问题探究

如图所示，在棱长为4cm的正方体AC1中，点M、N分别是棱A1B1、

CD的中点.⑴证明：A、M、C2、N四点共面；

⑵证明：四边形AMC2N是棱形；

⑶求棱形AMC1N的而积.

【解析】

⑴证：取AB的中点G,连GC、MG,

VM> N、G 为中点,/.MG//BB1> BB1//C1C,

从而 MG//C1C, AGC//MC1；

XVAG//NC,GC//AN,

.?.AN//MC1；

A、171、Cl、N四点共面；

⑵证：VM> N 为中点，且棱长为 4, AAM=MCl=CN=NA=25cm,

四边形AMC1N是棱形；⑶VMN B1C 42, AC1 43, AS棱形

AMC1N 1MN AC1 8cm2- 2

假期如果没出门历练的话明天就请辛苦一下将下面这道题做出来吧： 给学生释疑

VMB1//NC,四边形MB1CN是平行四边形，AMN B1C 42, 其实，如果正方体的棱长是K则其对角线就是羽，这是公式！篇四:

《四点共而问题探究》

空间四点共而充要条件的应用与探究

平而上的三点共线与空间的四点共面，是平而向量与空间向量问题中 的一类重要题型。在高中数学人教A版选修教材24《空间向量与立 体几何》一章中，给出了四点共面的一个判定方法，在配套的教参中 更明确为充要条件。因此有些老师在教学中就给出了如下的空间P、 A、B、C、四点共面的充要条件：对于空间任意一点0,存在实数X、 y、z,使得OP xOA yOB zOC且x+y+z二2。这个结论对于解决空间 四点共而问题提供了很便捷的方法，例如：

?问题1：对于空间任一点0和不共线的三点A、B、C,有 60P 0A 20B 30C,贝lj ()

(A)0、A、B、C四点共面(B)P、A、B、C四点共面

(C)0、P、B、C四点共面(D)0、P、A、B、C五点共而分析：由条件可 以得到 111 ，而1111,则P、A、B、C四点共而。632632 1

223?问题2：己知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点0, 0M xOA OB 0C,贝I」。分析：由上面的充要条件很容易得到

x 1 111 o 236

?问题3：在平行六而体ABCD-A1B1C1D1中，P、N分别是AAl、 AB、AD上一点，且

21 AA1, , 1,对角线AC1与平面PMN交与点H,求H点分ACL 的比。324

分析：因为P、M、N、H四点共而，则可设为

AH xAP yAM zAN,且 x+y+z二2A

MC1121AM ABAP AA ,由己知，,l,2342xyz AA 则 1324

又A、H、Cl三点共线，贝lj AC1而AC1 AA1 AB AD所以，

2xyzAAl AA1 AB AD324

不共而，则有：因为向量AA1,,

又因为x+y+z二2,所以2xyz3 ，所以x , y 2 ,

z 4 2324232AC1 +2 +4 二2,解得 所以， 15152

即：H点分AUL的比为2:23.

以上三个问题的解决都用到了课木中提到的四点共而的充要条件，思 路新颖，解法简洁，确实为学生们解决空间四点共而问题提供了一条 重要的解题思路。但是，学生们在解决xx年全国高考数学试题时， 却出现了困惑和迷茫。甚至对该方法提出了质疑。

? xx年高考题为：NABC的外接圆圆心为0,两条高线的交点为

H,若 OH m(0A OB 0C),贝lj。

一部分学生认为，该题可以利用课本中给出的充要条件解决，将本题 看成H、A、B、C四点共面，0为空间任意一点，则应有m+m+m=l, 从而得到m二1.3

另外一部分学生认为该题可以采用以下特殊解法，将/ABC看成一个 等腰直角三角形，则容易得到 ，于是m=l.

究竟哪一个答案是正确的？在查阅xx年高考试题答案后知道，正确 答案应该为2,而对于老师给出的结论也是深信不疑的，因为在平面 向量中就曾经得出过类似的问题：平面内三点A、B、C共线的充要条 件是:对于平面内任意一点0,存在实数入、U,使得0A OB 0C, 且X +尸2.课本中的结论其实就是平而向量问题的一个推广。那么第 一种解法究竟错在哪里？这个充要条件正确吗？

如果和上而的结论做一对比的话，就是对本题中的五点共面有所怀 疑，但是教参中并没有强调0点不能与PABC共而。我们再推敲一下 教参中对于这个充要条件的证明， ，肯定没有问题，根据平面向

量基本定理，向量一定可以用不共线的向量和表示(此处注意，A、B、 C三点必须不共线，课本中说的是平面ABC,教参中也强调不共线)， 即：

)AP= AB AC= (OB 0A) (0C 0A 所以，

) (OB 0A) (0C 0A

(1 ) 0A OB 0C

显然其系数和为1.

但是，当0点与P、A、B、C共而时，向量AP也可以用不共线的向 量0B和0C直接表示，即，AP OB 0C ,则

OP OA AP OA OB OC,显然其系数和1 不一定等

于］.

不妨可以看一个五点共面的特殊例子（如右图），对于正

方形ABCD,设其中心为0,则OA OB 0C 0D,其

系数和等于2,但是也可以表示成2 2,

BC

其系数和等于3,还可以表示成OA 50B 0C 50D,其系数和等于 9,等等，显然各种不同的表示形式其系数和是不确定的。

问题的症结找到了，如果0点与P、A、B、C共面时，向量0P可以 用OA、OB、0C表示成各种不同的形式OP xOA yOB zOC,表达 形式不确定，其系数和当然也不确定。实际上，问题的关键在于与空 间向量基本定理相悖，当0点与P、A、B、C共面时，向量、、、为共 面向量，那么向量是不能用、、唯一表示的。同时，即便0点与P、A、 B、C不共面时，也必须

要求A、B、C、三点不共线，否则，根据空间向量基本定理，由于向 量、、是共而向量，那么向量0P是不能用OA、OB、0C表示的。…所 以，有些老师结合教材和教参中的表述给出充要条件的说法严格说是 不准确的，充分性没有问题，而必要性则需要加以限制。

结论：（四点共面）

若空间P、A、B、C四点共面，且A、B、C三点不共线，则对于空间 不与PABC共面的任意一点0,存在实数X、y、z,使得 OP xOA yOB zOC 且 x+y+z二 1.；反之，若 OP xOA yOB zOC 且 x+y+z二 1,则 P、A、B、C 四点共面。

(三点共线)

平面内P、A、B三点共线，则对于不在直线AB上的点0,有 OP 0A 0B,且 1；反之，若 OP 0A 0B,且

1,则P、A、B三点共线。在这里注意，当P、A、B、0四 点共线时，虽有 ，但是、 并不唯一，所以不一定有

lo篇五：《共面向量定理》

共而向量定理

共而定理的定义为能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量。共 而向量定理是数学学科的基本定理之一。属于高中数学立体几何的教 学范畴。主要用于证明两个向量共面，进而证明面而垂直等一系列复 杂定理。

内容如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件 是存在有序实数对(x.y),使p二xa+yb定义为：能平移到同一平而上的三 个向量叫做共而向量

推论

推论1

设OABC是不共面的四点则对空间任意一点P都存在唯一的有序实数

组(x,y,z)

使得0P二xOA+yOB+zOC{OP,OAQBQC均表示向量}说明：若x+y+z二1则 PABC四点共面(但PABC四点共面的时候，若0在平面ABP内，则 x+y+z不一定等于1,即x+y+z二2是P.A.B.C四点共面的充分不必要条 件)

证明：

1)唯一性：

设另有一组实数x,y,z使得0P二xOA+yOB+zOC

则有 xOA+yOB+zOC二xOA+yOB+zOC

(x-x)OA+(y-y)OB+(z-z)OC=0

V0A> OB、OC不共面

二 x-x二y-y二z-z二0 H卩 x二x、y二y、z二z

故实数x,y,z是唯一的

2 )若x+y+z二1则PABC四点共面：

假设 0P二xOA+yOB+zOC 且 x+y+z=l 且 PABC 不共面

那么 z=l-x-y 则 0P二xOA+yOB+OC-xOC-yOC

OP 二 OC+xCA+yCB(CP 二 xCA+yCB)

点P位于平面ABC内与假设中的条件矛盾故原命题成立

推论2

空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x.y,使

MP=xMA+yMB{MPMAMB都表示向量}或对空间任一定点0,有 0P=0M+xMA+yMB{0P,0M,MA,MB表示向量}篇六：《高二练习》

3.1.1空间向量及其加减运算

一、选择题

1.下列命题中，假命题是()

-与BA-的长度相等A.向量AB

两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

只有零向量的模等于0

共线的单位向量都相等

2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为0,则下列等式成 立的是(

)

f+ 0B—= AB—B.OA—+ 0B—= BA—A.0A

f-OB—= AB—D.OA—-OB—= CD—C.AO

f+ 0B—+ 0C—3.己知O是AABC所在平面内一点，D为BC边中点 且20A

—等于()二0,贝l」AO

fB.OC—C. D.2 A.OBODOD

f, AC—, BC—满足 |AB—| = |AC—| + |BCf I，贝 lj()4.己知向量 AB f = AC— + BC—B.ABf = — AC— — BC—A.AB f 与BC—同向D.与AC—与CB-＞同向C.AC

f-ABf+BC—化简后的结5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达 式DD1

果是() ^A.BDB.C.BIDD.DBIIDIB

6.平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,E, F, G, H, P, Q分别是 A2A,

AB, BC, CC1, C1D1, D2A2 的中点，贝lj()

f + PQ—=0B.A. +GHEF

EF—-PQf=0 -GHEF—— PQf =0D. -GH — + PQf=0C. +

GHEF

二、 填空题 7.在平行六面体ABCD-A8CD中，与向量

AB的模相等的向量有 个. 一一8.若G为ZXABC内一

点，且满足AG + BG + CG = O,则G为AABC的

?（填“外心” “内心""垂心”或"重心”）

判断下列各命题的真假：

f的长度与向量BA-的长度相等；①向量AB

向量3与b平行，则2与b的方向相同或相反；

两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中假命题的个数为 .

三、 解答题

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

f—①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线 上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边 形 ABCD

一 = DC—；是平行四边形的充要条件是AB⑤模为0是一个向量方向 不确定

的充要条件.

3.1.2空间向量的数乘运算

一、选择题

下列命题中正确的是()

若3与b共线，b与c共线，则a与c共线

向量a, b, c共面，即它们所在的直线共面

零向量没有确定的方向

若a/7b,则存在唯一的实数入，使a= X b

满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(){oabc 四点共而}.

f + BC— = AC— B.AB— — BC— = AC—A.AB f = BC— D. | AB— | = | BC— | C.AB

3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点

在线段 MN 上，且 MG二2GN,则 0G二xOA+yOB + zOC

111A.x = 3,y=3, z = 3111B.x = 3,y = 3z = 6111C-x = 6,y=6z=3HID.x = 6,y=3, z = 3

111A.

x = 3,

y=3, z = 3

111B.

x = 3,

y = 3z = 6

111C-

x = 6,

y=6z=3

HID.

x = 6,

y=3, z = 3

4?在下列条件中，使M与A、B、C 一定共而的是()

A.OM = 2OA-OB~OC1—11->B.OM = 5 +

A.OM = 2OA-OB~OC

1—1

1->B.OM = 5 +

3OB + 2OC

D.OM +oa+ob+oc=oc.ma+mb + mc = o

D.OM +

oa+ob+oc=o

f — 5.在平行六而体 ABCD-A1B1C1D1

中，向量 D1A, D1C, A2C2 是()

A.有相同起点的向量B.等长向量

C.共而向量D.不共而向量

6.下列命题中是真命题的是()

A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这

两

个向量不是共而向量

内容仅供参考

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