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《数乘向量》教学设计
教材分析
教材分析
本节课内容是在学生掌握向量的加法的基础上，学习实数与向量的积的运算。教材通过“探究”，引导学生先作出几个相同向量的和，再讨论他们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后再过渡到一般的向量数乘运算的定义。引入向量数乘运算后，考查这种运算律是一个自然的问题。
教学目标
教学目标
【知识与能力目标】
1. 通过实例掌握向量的数乘运算，理解其几何意义；
2.理解向量共线定理，熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。
【过程与方法目标】
理解并掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判定两个向量是否共线。
【情感态度价值观目标】
通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。
教学
教学重难点
【教学重点】
理解向量的数乘运算及其几何意义；运算律；向量共线定理。
【教学难点】
理解向量共线定理，并应用其解决相关问题。
课前准备
课前准备
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
教学过程
教学过程
一、探究新知。
教材整理：数乘向量
阅读教材P82～P84“例3”以上部分，完成下列问题。
1．数乘向量及运算律
(1)向量数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa．它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 。(2)向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
2．共线向量定理
(1)判定定理
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理
若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa 。
巩固练习
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量。( )
(2)对于非零向量a，向量－6a与向量2a方向相反。( )
(3)向量－8a的模是向量4a的模的2倍。( )
(4)若b＝λa(a≠0)，则a与b方向相同或相反。( )
(5)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa。( )
【解析】 由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)正确，(3)正确；(4)当λ＝0，b＝0时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当a＝0，b≠0时，就不存在实数λ，使b＝λa，故(6)错误。
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
二、例题解析。
(1)化简eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(?3a＋2b?－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；
(2)已知向量a，b，x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，
试用向量a，b表示向量x，y。
【精彩点拨】 根据向量加法、减法、数乘的运算法则进行运算。
【自主解答】 (1)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b
＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0
(2)联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a①,－4x＋3y＝b②))
①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得y＝4a＋3b。
1．向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看成向量的系数。
2．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解。
巩固练习
1．已知2(x－eq \f(1,3)a)－eq \f(1,3)(c＋b－3x)＋b＝0，
试用向量a，b，c表示向量x
【解】 由已知得，2x－eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)c－eq \f(1,3)b＋x＋b＝0
3x－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c＝0
3x＝eq \f(2,3)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c
∴x＝eq \f(2,9)a－eq \f(2,9)b＋eq \f(1,9)c
已知e1，e2是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，判断a与b是否共线？
【精彩点拨】 利用向量共线定理进行判断。
【自主解答】 若a与b共线，则存在λ∈R.使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0。
因为e1与e2不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－6λ＝0，,4＋8λ＝0，))所以λ不存在。
所以a与b不共线。
1．本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线平行问题，也可以根据共线求参数的值。
2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线。
巩固练习
2．设e1，e2是两个不共线向量，已知eq \o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq \o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2。
(1)求证：A，B，D三点共线。
(2)若eq \o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值。
【解】 (1)证明：由已知得
eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(CB,\s\up6(→))
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)
＝e1－4e2。
∵eq \o(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，
∴eq \o(AB,\s\up6(→))＝2eq \o(BD,\s\up6(→))，又eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(BD,\s\up6(→))有公共点B，
∴A，B，D三点共线。
(2)由(1)可知eq \o(BD,\s\up6(→))＝e1－4e2，由eq \o(BF,\s\up6(→))＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，
得eq \o(BF,\s\up6(→))＝λeq \o(BD,\s\up6(→))，即3e1－ke2＝λe1－4λe2。
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝3，,－k＝－4λ，))解得k＝12。
探究1 若存在实数λ，使eq \o(AB,\s\up6(→))＝λeq \o(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点的位置关系如何？
【提示】 A，B，C三点共线。
探究2 向量共线定理有哪两个方面的应用？
【提示】 (1)判断两个向量共线，若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线。(2)表示两个共线向量之间的关系。若a与b共线(a≠0)则必存在一个实数λ.使b＝λa。
已知O是坐标原点，过△OAB的重心的直线交OA于点P，交OB于点Q，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OP,\s\up6(→))＝m a，eq \o(OQ,\s\up6(→))＝n b，求证：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3。
【精彩点拨】 解答本题可先利用三角形重心性质，共线向量基本定理把eq \o(OG,\s\up6(→))用eq \o(OF,\s\up6(→))表示出来，再用向量求和法则，将其用a，b表示出来，然后表示出eq \o(QG,\s\up6(→))，eq \o(GP,\s\up6(→))，最后利用Q，G，P三点共线，即可得证。
【自主解答】 如图，设G是△ABC的重心，连接OG并延长，交AB于点F，则
eq \o(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(OF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(a＋b)＝eq \f(1,3)(a＋b)，
eq \o(QG,\s\up6(→))＝eq \o(OG,\s\up6(→))－eq \o(OQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－n b＝eq \f(1,3)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－n))b，
eq \o(GP,\s\up6(→))＝eq \o(OP,\s\up6(→))－eq \o(OG,\s\up6(→))＝m a－eq \f(1,3)(a＋b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,3)))a－eq \f(1,3)b。
∵Q，G，P三点共线，
则存在实数k使eq \o(QG,\s\up6(→))＝keq \o(GP,\s\up6(→))，
∴eq \f(1,3)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－n))b＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,3)))a－eq \f(1,3)kb，
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(km－\f(k,3)))))a＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－n))＋\f(1,3)k))b＝0
又∵a与b不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(km－\f(k,3)))＝0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－n))＋\f(1,3)k＝0))
化简得m＋n＝3mn，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3。
巩固练习
3．如图2-3-1所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b。
图2-3-1
(1)用a，b表示向量eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(AE,\s\up6(→))，eq \o(AF,\s\up6(→))，eq \o(BE,\s\up6(→))，eq \o(BF,\s\up6(→))；
(2)证明：B，E，F三点共线。
【解】 (1)如图所示，延长AD到G，使eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AG,\s\up6(→))，连接BG，CG，得到四边形ABGC．
因为D是BC和AG的中点，
所以四边形ABGC是平行四边形，
则eq \o(AG,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，
eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)。
因为F是AC的中点，所以eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b.
所以eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \o(AE,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－a
＝eq \f(1,3)(b－2a)。
eq \o(BF,\s\up6(→))＝eq \o(AF,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－a＝eq \f(1,2)(b－2a)。
(2)证明：由(1)可知，
eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(b－2a)，eq \o(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(b－2a)，
所以eq \o(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \o(BF,\s\up6(→))，即eq \o(BE,\s\up6(→))，eq \o(BF,\s\up6(→))是共线向量，又因为它们有公共点B，所以B，E，F三点共线。
三、小结。
1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用。
2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解。
四、作业。
1．已知向量a，b，且eq \o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )。
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】 eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝eq \o(AD,\s\up6(→))＝3eq \o(AB,\s\up6(→))
所以A，B，D三点共线。
【答案】 A
2．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))，则( )。
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边上 D．P在AC边上
【解析】 由eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(PB,\s\up6(→))－eq \o(PA,\s\up6(→))得，eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝eq \o(PB,\s\up6(→))－eq \o(PA,\s\up6(→))，
∴eq \o(PC,\s\up6(→))＝－2eq \o(PA,\s\up6(→))，
∴eq \o(PC,\s\up6(→))∥eq \o(PA,\s\up6(→))，且eq \o(PC,\s\up6(→))与eq \o(PA,\s\up6(→))反向，
∴点P在AC边上。
【答案】 D
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝ b。
【解析】 因为|a|＝5，|b|＝7，所以eq \f(|a|,|b|)＝eq \f(5,7)。
又因为b与a的方向相反，所以a＝－eq \f(5,7)b。
【答案】 －eq \f(5,7)
4．在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝2eq \o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为 。(填“梯形、矩形、菱形、平行四边形”之一)
【解析】 因为eq \o(AB,\s\up6(→))＝2eq \o(DC,\s\up6(→))，所以四边形ABCD中有AB∥DC，AB＝2CD，所以四边形ABCD是梯形。
【答案】 梯形
5．如图2-3-2所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝3CD.若eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq \o(AC,\s\up6(→))。
图2-3-2
【解】 因为AB∥CD，且AB＝3CD，
所以eq \o(AB,\s\up6(→))＝3eq \o(DC,\s\up6(→))，eq \o(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a，
所以eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,3)a。
教学反思
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