第8章磁场的源（稳恒磁场）
§1基本磁现象
§2磁场磁感强度
§3磁场的高斯定理
§4毕-萨-拉走律
§5安培环路定理及应用
§6运动电荷的磁场
3
3
§1基本磁现象
小故事：1820年奥斯特磁针的一跳
说明电流具有磁效应
法国物理学家迅速行动代表人物:
阿拉果安培毕奥萨伐尔拉普拉斯 从奥斯特磁针的一跳到对磁现象的系统认识 只用半年时间 说明科学家的锲而不舍的精神
_切电磁现象都起因于电荷及其运动O
电荷在其周围激发电场,电场对场中电荷施以作用力； 运动电荷在其周围激发磁场,磁场对场中的运动电荷施 以作用力,磁力是运动电荷间相互作用的表现。
运动的相对性：磁现象与电现象是紧密地联系在一起 的。电相互作用和磁相互作用统称为电磁相互作用。
凡是用到电的地方,几乎都有磁的过程参与其中。
在现代化的生产.科学研究和日常生活中,大至发电 机.电动机■变压器等电力装置,小到电报.电话.电 视.计算机和各种电子设备,AMS（磁谱仪）的制造等■无 不与电磁现象有关。本章及以后几章研究磁现象及其和 电现象之间的关系。
在地磁两极附近”由于磁感线与地面垂直■外层 空间入射的带电粒子可直接射入高空大气层内, 它们和空气分子的碰撞产生的辐射就形成了极光。
磁流体船
电磁轨道炮
10
10 6 A
〃 ~ 10吨，在1ms内f弹块速度可达10km/s6
§2磁场磁感强度
—■磁场
二磁感强度
L」
■」
V
4
――— r ?
■ ■ J
? ■
r
/
—、磁场
电流或运动电荷周围既有电场又有磁场
磁场的宏观性质:
X）对运动电荷（或电流）有力的作用
2）磁场有能量
二磁感强度
运动电荷在电磁场中受力：
洛仑幼蕊
9
9
9
9
§3磁场的高斯定理
一.磁场线磁通量 二磁通连续原理
§3磁场的高斯定理
I
TOC \o "1-5" \h \z _■磁场线磁通量 [
1?磁场线的特征 7
无头无尾闭合曲线 <35
与电流套连
与电流成右手螺旋关系
2.磁通量
①m 窪单位:韦伯(Wb)
长直载流导线的磁场
长直载流导线的磁场 ■ ? F ■二 ? 4(二- ■■■- ■ ■■f
载流螺线管的磁场
载流螺线管的磁场
两平行长直载流导线的磁场
两平行长直载流导线的磁场
直线电流的磁感应线
圆电流的磁感应线
14
各种典型的磁感应线的分布:
直线电流的磁感线
圆形电流的磁感线
15
16
16
16
16
环形螺线管电流的磁感线
1?磁力线的特征
无头无尾闭合曲线
与电流套连
与电流成右手螺旋关系
17
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二 磁通连续原理（磁场的高斯定理）
=0
S
微分形式
▽ ?方=0
磁场是不发散的（磁场是无源场）
讨论
磁场的基本性质方程
S
2）关于磁单极：
将电场和磁场对比：
由电场的高斯定理 可把磁场的高斯定理写成 与电场类似的形式
% ■自由电荷 qm -磁荷
1931年Dirac预言了磁单极子的存在
量子理论给出电荷g和磁荷厶存在关系:
q ? qm = nh (m 二 1,2,3A )
只要存在磁单极子就能证明电荷的量子化。
预言：磁单极子质量:
m = 2xl0-11 g^l016m/?
这么大质量的粒子尚无法在加速器中产生 人们寄希望于在宇宙射线中寻找
惟一的一次
从宇宙射线中捕捉到磁单极子的实验记录:
斯坦福大学Cabrera等人的研究组利用超导 线圈中磁通的变化测量来自宇宙的磁单极子。
有磁单极子穿过时 ＞感应电流
I = 2^JL
1982214)3:53
21
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以后再未观察到此现象。
以后再未观察到此现象。
实验中：
4匝直径5cm的锯线圈 连续等待151天 1982.2.14自动记录仪 记录到了预期电流的跃变
结论:
*目前不能在实验中确认磁单极子存在
§4毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律
要解决的问题是:（实验总结，科学抽象） 已知任一电流分布其磁感强度的计算 方法:将电流分割成许多电流元/df
毕■萨.拉定律：每个电流元在场
点的磁感强度为:
d肛血X”
4兀厂2
a4兀厂
a
4兀厂2
大小：岡=“。血血
P
d百二"0血"
4兀厂2
UJ E
方向：/d/ xr如图所示
既垂直电流元又垂直矢径
Ao =47rxl0 7 H/m
真空中的磁导率
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电流元的磁感应线在垂直于电流元的平面内
是圆心在电流元轴线上的一系列同心
磁感应线绕向与电流流向成右手螺旋关系
任意形状的载流导线在空间某点P产生 的磁感应强度:
月 Li. r /d/ x e B= dB = ^ J
（厶）
“° ：真空磁导率
譬加原理:
3 __ 3
Bp
毕?萨定律应用举例:
OJ
例1将电流源Idl置于半径为R的圆心，图示，将圆周等分为 八段，加厂在图中1，2, 3, 4各等分点的B的大小分别为
dB4工_
dB4
工_ dB2 =
为 、右半圆各点的磁场方向为
O
O
例2求圆电流中心的磁感强度
dB =吶4/rR
dB =吶
4/rR2
Idl
B=
B= f “0 砂 _」（/）4加?2
47iR
Ur.1
~^2R-° ? B
~^2R
N…分数和整数
原因：各电流元在中心产生的磁场方向根同
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场点P坐标为兀 VX例3
场点P坐标为兀 V
X
电流的电流强度为/半径为人
建如图所示的坐标系设圆电流在yz平面内
— z* I
z ▲“ ：
解：翕一步：在圆电流上任取一电流元血 由毕■萨定律知其在场点P产生的磁感 强度 r 门尸八
d翼“。砂"
4兀尸 30
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第二步：分析各量关系明确dB的方向和大小
B组成的平面丿 I /
B组成的平面
: Idl r
XP0UJ dB71^7dL r
X
P
0
UJ dB
71
第三步：根据坐标 写分量式
dBx=dBsmO = ^4~
4兀厂 r
dBv7 =dBcos&
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第四步：考虑所有电流元在P点的贡献
UJdBr /70/dZ R pJR:/ O* “2
UJ
dB
r /70/dZ R pJR
:/ O
* “
2 r 4兀厂3 ￡)
dB
X
F组成的平面
Bx = dBsin<9 =
(/) (/)4jlr
dz呼
由对称性可知 每一对对称的电流元在P点的 磁场垂直分量相互抵消所以
Byz = ]dBcos0 = O
(/)
结论:在p点的磁感强度
方向：沿轴向与电流成右手螺旋关系
34
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I呼*疋产
讨论
1）圆电流中心的场"0 B理
2 ）若兀? R
即场点离圆电流很远
B 二 gW _“0屁
2x3 2r3
平面载流线圈m
平面载流线圈
m
3）平面载流线圈的磁矩磁偶极子
定义平面载流线圈的磁矩
如果场点距平面线圈的距 离很远，这样的平面载流 线圈称为磁偶极子
磁偶极矩忙
磁偶极子的场用磁偶极矩表示
二“0几2%r3“0於二 &IR2
二“0几
2%r3
2兀3 2r3 27ir3
若考虑方向 < 则可写成
“o几
2tcf3
结论:磁偶极子的场沿磁矩方向
4）电磁学中物质分子的模型
电场时:电偶极子 电偶极矩 内?一+
磁场时:磁偶极子 磁偶极矩K/o
场量的表达形式相同
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例4直电流磁场的特点
1）场点在亭电再延长线上
Idl xr =0 B = 0
2）长直载流导线中垂线上一点
/->oo?各电流元产生的磁感强度方向相同
/->oo
?中垂线上半部分电流与中垂线下半部分］p 电流各提供1/2的磁感强度 | B
八g. P
必然B结果
必然B
结果
半无限一 2 无限
u?Z 寸
f Z寸
oq
总寸 ￡k寸%
— 0恳
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(0 — z).ss」H ￡ (0—MSO。」H 7 郭哲rg
7P1?…
?舁—国HsmIK giH忙盘 d^sttlIK煖曲—1+1:匯 i」￡
一—
例5载流直螺线管中的磁感应强度:I, in Ho
dB“0於2（疋 + 兀 2）3/2
dB
“0於
2（疋 + 兀 2）3/2
Mo R2Indl
T （疋 +亍）3/2
B =处"（cos/?—COS0J
方向沿轴线
方向沿轴线
H
讨论：(1 )无限长直螺线管：0严处02 = ° — 无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度是均匀的。
无限长密绕螺线管内部的磁感应强度是均匀的。
(2)半无限长螺线管的一端： 呗
0] = 7T, 02 =兀 / 2 # = 7T / 2, 0? = TT B ~~
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§5安培环路定理及应用
—、定理表述
二.安培环路走理在解场方面的应用
应用基本走理分析磁场举例
应用基本走理分析磁场举例
§5安培环路定理及应用
_、定理表述
在磁感强度为芳的恒定磁场中
磁感强度沿任一闭合环路的线积分等于穿 过该环路的所有电流的代数和的佝倍 表达式为：
fKd/工厶内
L i
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讨论
1）安培环路定理是稳恒电流磁场的性质方
程。（稳恒电流的回路必须闭合或伸展到00）
2 工0说明磁场为非保守场（涡旋场）
L
3)以无限长直导线为例，证明安培环路定理
(1 )电流穿过安培环路圆形环踣「环路上呜（厶）B-d/ = | B 心 0 二
(1 )电流穿过安培环路
圆形环踣「
环路上呜
（厶）
B-d/ = | B 心 0 二 I 亠丫帥=yj ,（1） Jo 2nr
(2)电流不穿过安培环路
UJ
%
d/j
VJ
d/L? dl = Bdl cos 0 = Brd（f
d/
L
? dl = Bdl cos 0 = Brd（f）
B
d0
a
tn W /J / B B nJ
民?出2=_坐〃0妫?出］=乩〃0
2/r 2tt
UJ UJ UJ VJ f ZA
Bj-d/j+B.-dZ^O p-d/ =0
4）推广:对任途定磁 场中的任意闭合环路。45
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扭?皿=“0工厶
扭?皿=“0工厶
(L) (乙内)
(3)四、安培环路定理 应用举例
(3)
安培环路定理是恒定
磁场的基本定理之一，适 比士由任切堆 用于任一恒定磁场中的任
B:所有电加的总贝献 意闭合环路但用安培环路
工厶：穿过环路的电流的代数和对磁场的 分布有特殊要求:
f
f片?d/ =“o工厶内
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f
f片?d/ =“o工厶内
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2、 乂
2
、 ?
?乂
“ ?、
d^A L绕行方向上的任一线芫
电流分布
4）正确理解定理中各量的含义
?“? '?、
CDBZ空间所有电流共同产生 ‘° '
CD
LZ在场中任取的一闭合线
/内A与L套连的电流
如图示的71 12
［内A 与乙套连的电流 如图示的八12 工厶内人电流代数和
一一 — — i
I
电流正负的规定:
与L绕行方向成右螺的电流取左竜流分詁 如图示的电流「取正
电流込取负
/值采样的面积：
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如何理解/值采样的面积:
电流强度的定义是:
单位时间通过某个面积的电量
所以谈论电流强度必须指明面积
在稳恒电流的情况下
因为电流强度处处相等
所以在哪个面积处取值都相同
二.安培环路定理在解场方面的应用 对于一些对称分布的电流 可以通过取合适的环路L
利用磁场的环路定理比较方便地求解场量
(类似于电场强度的高斯定理的解题)
在整个环路或环路的某一段上数值不变;
场方向与环路夹角在整个环踣或环路 的某一段上为恒定值 ,则 B, cos&
与积分变量无关
以例题说明解题过程 例1求密绕长直螺线管内部的磁感强度
「二 w&lO N 三―
总匝数为N总长为/ (n = -~单位题上匝数 通过稳恒电流电流强度为Z
解:分析对称性知内部场沿轴向
方向与电流成右手螺旋关系 r7 —<
由磁通连续原理可得 Kr“”“/ -
I
B内外
?d
0000000
(x)?& &
Dp
?HP.
H U
N
。工 H qbn
IB
qb^H
/q
」+」p「
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I l-.r
电流密度
“0
由安培环路走理可解一些典型的场 无限长载流直导线密绕螺绕环
B= 17ir
无限大均匀载流平面
场点距中
心的距离
电流密度
?（体）电流（面）密度
如图电流强度为7的电流通过截面S 若均匀通过电流密度为J = L
S
価）电流（线）密度
如图电流强度为7的电流通过截线I 若均匀通过电流密度为 —
例2无限长导体柱沿轴向通过电流/ f截面 上各处电流均仓分布f柱半径为求柱内 外磁场分布。在长为?的一段圆柱内环绕中
心轴线的磁通量是多少？ 解：电流均匀分布，则电流 密度为 I I
根据电流分布的柱对称，取过场点 的圆环作为环流的积分路径。
由安环定理有2兀rB = “o工厶
2
2兀/二“°工厶
2 PAGE
2
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2
2兀/二“°工厶
2 PAGE
2
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解得
“0工厶
B =—【—
2jir
若场点在圆柱内，即r<R 包围的电流为工厶
=Jiir2
则磁感强度为-%
2jir 2
\R
? VJ
\ B
若写成矢量式为
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解得“0工厶
解得
B = —I— 2nr
若场点在圆柱外，即f>R
\R
包围的电流为□尸1 则磁感强度为 B二耸
场的分布为
场的分布为
r>R 3 =如一
2兀厂
叙为Z的一段瞬量: 建坐标如图。
在任意坐融宽为dr的面积元
的磁通量为d0"dS二必曲
2
R
总磁通为：心如你du做心剧
{ 2 4 4兀
解尼黑方向垂直矩形平面向里/3rr w 3 uj
解尼黑方向垂直矩形平面向里/
3
rr w 3 uj mF t z
=Jj5 d5 dS = dSn n与B同向
m
(S)
□
例3如图所示f通有电流/的长直导线与一矩形 路CDEF共面f求通过矩形面积CDEF的磁通量。
(S)
WCd Co b Of
例4如图所示,通有电流的长直 导线与矩形面积S2共面,通过 S“ S?的磁通量的磁通量之比为1：1 注意:通过闭合曲面的磁通量为 零
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磁感强度 的计算
基本方法:
1?利用毕■萨■拉定律
2?某些对称分布f利用安培环路定理
3 ?軍要的是典型场的叠加 注意与静电场对比
例5 —长直电流7在平面内被弯成如图所示的形状其中直电流
例5 —长直电流7在平面内被弯成如图所示的形状
其中
直电流ab和cd的延长 线过。
电流be是以o为圆心. 以R?为半径的1/4圆弧 电流de也是以o为圆心、 但，是以Ri为半径的 1/4圆弧
:场点o处的磁感强度B
61直电流ef与圆弧电流
61
de在e点相切
TOC \o "1-5" \h \z 解：场点0处的磁感强度是由五段 门 .c
特殊形状电流产生的 f j 「§?妁
场的叠加,即 \
VJ UJ VJ UJ UJ UJ
B 二 Bab +Bbc +Bcd + Bde +Bef
由毕萨拉定律得到各电流的磁感强度务如是
Bbc-方向：?
Bbc
4 2忌
Bde = - - ?
Bab =0必=oBef0 I辱如’应I如
Bab =0
必=o
Bef
0 I辱如’应I如
1— ?
8R、 4 兀R] 8R2 62
例6通电导体的形状是:在一半径为R的无限长
的导体圆柱内 ＜在距柱轴为d远处f沿轴线方
向挖去一个半径为r的无限长小圆柱。如图。
导体内均匀通过电流;电流密度 为J
但，可以利用补偿法，使电流恢 复对轴线的对称性。求:小圆柱空腔内一点的磁感强度 分析:由于挖去了一个小圆柱” 使得电流的分布失去了对轴线的 对称性，所以无法整体用安培回 路定理求解。
但，可以利用补偿法，使电流恢 复对轴线的对称性。
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怎么恢复对称性呢?
设想在小圆柱内存在等值反向的电流密度值 都等于/的两个均匀的电流
1）大圆柱电流:小圆柱内的与通电导体电流方 向一致的电流和导体构成
2）小圆柱电流
空间的场就是两个均匀的圆柱电流场的叠加
解：设 ,
场点对大圆柱中心o的位矢为n
场点对小圆柱中心d的位矢为￡二
I
由安环走理可分别求出（见例2 r
wI ' I 3〃小砒：00_ “0 / 6 " 〃大圆
w
I ' I 3
〃小砒：
0
0
如（-耳卩 小圆柱一 2 I丿丿厂2
hn* vj vj vj
心场为?B =罠圆柱+ B小圆柱
VJVJ B = 〃大
VJ
VJ
B = 〃大圆柱
如果引入d = 00
〃小圆柱
LU
+ B小圆柱
均匀场w // nr ui
均匀场
B 上 Jxd
2
方向：在截面内垂直两柱轴连线
例7宽度为a的无限长的载流平面,电流密度为i, 求:在载流平面内与其一边相距为b处一点的磁感 强度。
解:将平面看着无穷多的无限长载流导线。
然后进行场的叠加。
:
!
!
7
1
27i（（7+ /?-%） 2ti b o
?
X 2 \
1 _bJ
方向：垂直纸面向里
d_p
1 '
1 1
1 1
?——（1——67
1 1
1 1
PAGE
PAGE #
PAGE
PAGE #
=/(厂)?4兀厂2鼻0
/ S
〉，弋 这m声d§ = 0矛盾。
：?不存在E = /(r)r形式的磁场。
例2证明不存在突然降到零的磁场。
证:选图示的闭合回路L,
L应有:f 『二 "o工/内=0。
L
L
但图示情况f
L
所以不存在这样的磁场。实际情况应有边缘效应。
所以不存在这样的磁场。
§6运动电荷的磁场
若电荷g相对于观察者的运动速度为供实验表明 运动电荷推空间任意点A所产生的磁感应强度为
曽_ “° qvx r <7到场点A的位矢
「石气一 &心产间的夹角
大小：b = 3啤
大小：b = 3啤
4兀 厂 3 3
方向:qvx? 垂直于U、r组成的平面
JLT半径为人的圆截面长直导体上通有电流Z, 7均匀分 布在横截面上。导体内有一半径为d的圆柱形孔洞，其 轴与导体轴平行，两轴相距为几 求P点的磁感应强度。
JLT
解：用填补法求磁感应强度
2方向如图示方向如图否曇8 z 工
2
方向如图示
方向如图否曇
7u(R -a2)
L\: B12冗@ + a) = “o 况(Z? + 6z)2
B 二 +
厶 2: B2 2 加=“0 刀TQ 2
方向如图75 第8
方向如图75 第8章结束
B — =
i J /df r相互垂直所以a —
1 /
dB在Zdf F组成的平面内
且垂直r 由此可知 |d辱徑
丨 1 * * 4nr