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教学内容：一元一次不等式和一元一次不等式组单元知识总
结（上）
【基本目标要求】
一、 经历由具体实例建立不等式模型的过程， 了解不等式和一元一次不等式的有关概念， 掌握不等式的三条基本性质?
二、 了解不等式的解和解集的概念， 掌握一元一次不等式的解法，会在数轴上表示不等
式的解集.
三、 初步认识一元一次不等式的应用价值.
四、 了解一元一次不等式组及其解集的概念， 掌握一元一次不等式组的解法， 会用数轴
表示一元一次不等式组的解集.
五、 会用不等式和不等式组解决有关不等关系的简单实际问题，感知不等式、函数、方 程的不同作用与内在联系，发展学生分析问题、解决问题的能力.
【基础知识导引】
一、不等式及其基本性质
1 ?定义
凡用符号“V” （或“W” ）, “〉” （或）连接的式子叫做不等式.
性质
性质1不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.
性质2不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
性质3不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
二、不等式的解集
不等式的解集
一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解， 组成这个不等式的解的集合，简称为
这个不等式的解集.
解不等式
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
0 L 2 3 4 5 6 -
图1-1
-1 0 1 2 3 4 5
不等式的解集可在数轴上直观地表示出来，如 5x> 15的解集为x> 3,即在数轴上（图
1-1）用表示3的点及其右边部分来表示， 这里的黑点表示包括 3这一点.如果不等式的解集
为-1 < XV 4（图1-2），则用数轴上表示-1的点和点4的左边之间的部分来表示， 这里的黑点
表示包括-1这一点在内，而右边的圆圈表示不包括 4这一点在内.
三、一元一次不等式和它的解法
一元一次不等式
左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最咼次数是 1，像这样的不等
式.叫做一元一次不等式.
—元一次不等式标准形式
ax+b v 0 或 ax+b< 0, ax+b> 0 或 ax+b > 0(a 丰 0).
同解不等式
如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.
不等式的同解原理
原理I不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等 式是同解不等式；
原理2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不 等式；
原理3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并且把不等号改变方向后，所得的 不等式与原不等式是同解不等式.
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法步骤和解的情况与一元一次方程对比如表 1-1所示.
表1-1
解一兀一次方程
解一兀一次不等式
解法步骤
(1 )去分母；
(2 )去括号；
移项；
合并同类项；
(5 )系数化成1。
(1 )去分母；
去括号；
移项；
合并同类项；
系数化成1。
在上面的步骤(1)和步 骤(5)中，如果乘数或除数 是负数，要把不等号改变方向
解的情况
一兀一次方程只有一个 解
一兀一次不等式的解集 含有无限多个数
四、一元一次不等式组和它的解法
1?一元一次不等式组的解集
一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分， 叫做由它们所组成的一元一次不等式
组的解集.
2.解不等式组
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.
3?解一元一次不等式组的两个步骤
求出这个不等式组中各个不等式的解集；
利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集.
【重点难点点拨】
本章的重点是一元一次不等式的解法. 本章的难点是了解不等式的解集和不等式组的解
集，以及运用不等式基本性质 3,要注意变号.
另外，要特别重视搞清一元一次不等式与一元一次方程、 一次函数三者之间的关系.要
掌握以上重点、难点，必须注意以下问题.
一、 一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的区别与联系
一元一次不等式、一元一次方程含有一个未知数，一次函数含有两个未知数，它们 的左右两边都是整式.
一元一次不等式表示不等关系，一元一次方程表示相等的关系，一次函数不仅表示 相等关系，更重要的它表示因变量关于自变量的依存关系.
—元一次方程和一次函数的图象都是一条直线，一元一次不等式的图象是直线一侧
（有时包含直线，有时不包含直线 ）的区域.
一元一次方程的解是其图象 （直线）与x轴交点的横坐标的值，至于一次函数y=kx+b（k
工0）的解析式，只须依据两个独立条件确定 k、b,即可求出一次函数.
二、 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的互相转化作用
令一次函数y=kx+b（k工0）中的y=0,即可得一元一次方程， 将一元一次方程中的等号改 为不等号，一元一次方程则转化为一元一次不等式.
【发散思维导练】
★发散思维分析
本章的主要内容是一元一次不等式和它的解法， 及一元一次不等式组和它的解法. 它们
是在有理数大小比较、等式及其性质、解一元一次方程、 研究一次函数的基础上引入的、一
元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具， 是学习其它不等式的基础.正确地解一元一
次不等式，关键在于正确地理解不等式的解的集合的意义和准确运用不等式的三个同解原 理.学习不等式、一元一次不等式的有关内容可与等式、 一元一次方程、一次函数的有关内
容对比，找出它们之间的联系和区别， 用数轴表示不等式的解集， 利用数轴求不等式的解集
等，都体现了数形结合的思想方法. 本章安排了一定数量的迁移发散题， 迁移发散利用数学
式、图形在不同的数学分科中的不同含义与等价形式，把一个分科里的公式、定理、原则或 方法，巧妙地迁移到另一个分科中，达到化难为易的目的.
★ 发散思维应用
不等关系
不等式的基本性质
不等式的解集
一元一次不等式
【典型例题】
1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.
x 4
x
1 ,
(1)
1 ;
4
6
1
3X 1 L c CL
⑵
0.5
5 6 2.5。
3
4
解
（1）去分母,
得
3(x 4) 2(x 1) 12 ,
去括号，得
3x 12 2x 2 12,
合并同类项，得
x<-2 ;
原不等式的解集在数轴上表示如下（图1-3）
TOC \o "1-5" \h \z -5 -4 7 -2 T 0 1 2
图13
3x 1
1
3
3x 1
5 1 ,
4
3x
1厂
5
3,
4
3x
1
-2,
4
x 3.
TOC \o "1-5" \h \z 原不等式的解集在数轴上表示为（图1-4）
■ ? ? I 丁 , ? 一
0 1 2 3 4 5 6
FR 1-4
2 ?解不等式 ―2 （x 1） 1，并把它的解集在数轴上表示出来.
2
解原不等式化为
x 2 2（x 1） 2 , x 2 2x 2 2,
/? x>-2.
它在数轴上表示为（图1-5）
2-10
2-10
图）5
3 ?求使方程组x y m
3 ?求使方程组
x y m 2 4x 5y 6m
的解x,y都是正数的m的取值范围.
3
x y m 2
解解方程组 得
4x 5y 6m 3
x m 7
y 2m 5.
它的解为正数,
m 7 0,
2m 5 0.
m
7,
5
m
2.
? 5
2
5
故当5
2
m 7.
m 7时，原方程的解都是正数.
【题型发散】
发散1选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内. (1)下面列出的不等式中，正确的是 ()
a不是负数，可表示成 a> 0
x不大于3，可表示成x v 3
m与4的差是负数，可表示成 m-4v 0
x与2的和是非负数，可表示成 x+2 > 0
(2)下列不等式中一定成立的是
()
(A)4a > 3a (B)3-x
v 4-x
3
(C)-a > -2a (D)
2
a
a
(3)不等式 5(x+1)-3x
> 2x+3
的解集为 (
)
(A)x >-1 (B)x >
1 (C)
无解(D)
一切实数
⑷如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，那么
(A)m=6 (B)m 等于 5, 6, 7
(C)无解(D)5 < m< 7
⑸不等式14x-7(3x+8) v4(2x-5)的负整数解是 ()
(A)-3 , -2 , -1 , 0 (B)-4 , -3 , -2 , -1
(C)-2 , -1 (D) 以上答案都不对
⑹已知(a 2)2 | 2a 3b n| 0中，b为正数，则n的取值范围是()
(A)n v 2 (B)n v 3 (C)n v 4 (D)n v 5
解(1)用直接法?
a不是负数，可表示成 a > 0;
x不大于3,应表示成x< 3;
x与2的和是非负数应表示成 x+2> 0,
只有(C)正确.
故本题应选(C).
⑵用排除法.
由不等式的性质，若a v 0,则(A) , (C) , (D)三个选项都不正确， 可排除(A) , (C) , (D).
故本题应选(B).
(3)用直接法.
解不等式，经移项、合并同类项，得
0> -2 .
上面不等式与x无关，它的解集为一切实数. 故本题应选(D).
(4)用直接法.
■/ x+2m-3=3x+7
解得x=m-5 .
依据题意得OWx< 2,
即 0 W m-5W 2,「. 5 w mW 7. 故本题应选（D）.
⑸用排除法.
14x-7（3x 十 8） V 4（2x-5）,
14x-21x-56 V 8x-20 ,
14x-21x-8x V -20+56 ,
-15x V 36,
所以，(A) , (B) , (D)均可排除.
故本题应选(C).
(6)用直接法.
（a 2）2 |2a 3b n| 0.
得 a-2=0，则 a=2 .
2a-3b-n=0，以 a=2 代入，得
b 为正数， 4-n >0,
/? n V 4.
故本题应选（C）.
发散2填空题
TOC \o "1-5" \h \z 若方程kx+仁2x-1的解是正数，则k的取值范围是 .
若丨2a+3 | > 2a+3，则实数a的取值范围是 .
在下面横线上填上等号或不等号.
设m>n,那么
m-5 n-5 ; -5m -5n ;
m n
— — ; mp np。
10 10
有一个两位数，其个位数字比十位数字大 2,已知这个两位数大于 20而小于40,则
这个两位数为 .
已知 0w a W 15,且 aw x< 15，则当 x 时，式子 | x-a | + | x-15 | + |
x-a-15 |的值最小.
解(1) ?/ kx+1=2x-1 ,
? (k-2)x=-2 ,
由题意得
2
iT 2
仁-1，不成立.k-2 v 0,.?.k v 2.当
仁-1，不成立.
(2)依据绝对值的概念，
如果 2a+3> 0 时，| 2a+3 | =2a+3,
只有 2a+3v 0 时，才有 | 2a+3 |> 2a+3,
解不等式2a+3v 0得
3
a
2
⑶ 设m>n,那么m-5>n-5(根据不等式性质1);
-5mv -5n(根据不等式性质3);
— —(根据不等式性质2):
10 10
当 p > 0 时，mp> np,
当 p=0 时，mp=np
当 p v 0 时，mp< np.
(4)设十位数为x,
由题意，可得 20v 10x+(x+2) v 40,
得 20 v llx+2 v 40,即 18v 11x v 38,
.18 38
x
11 11
T x 为整数， x=2 或 x=3,
所求的两位数为24, 35 .
⑸ T 0 < aw 15,且 a<x< 15,
a+15 》15,
x-(a+15) w 0,
又 a w xw 15, ? x-a > 0,
x-15 w 0,
I x-a | + | x-15 | + | x-a-15 |
=(x-a)+(15-x)+(a+15-x)
=x-a+15-x+a+15-x =30-x .
要使上式值最小，只需 x最大，而awxw 15.
当x=15时，上式取最小值为 15 .
发散3解答题
(1)解不等式 3(2x-5)-5(1-x) > x-2(x-6);
(2)解不等式
3x 1
4
(3)解不等式
2x 1
3
解(1)3(2x-5)-5(1-x)
2^ 1；
3
x 1
0.5(3x 5) 1.25 0 .
6
> x-2(x-6),
去括号，得
6x-15-5+5x > x-2x+12 ,
移项，得 6x+5x+2x-x > 15+5+12,
合并同类项，得 12x > 32,
系数化为1，得 x 8；
3x 1
⑵
4
去分母，得 去括号，得
3
2(x 2) 1 ,
3
3(3x-1) > 4X 2(x-2)+12 ,
9x-3 > 8x-16+12 ,
移项，得 9x-8x > -16+12+3 ,
合并同类项，得 x > -1
TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" 2x 1 x 1
⑶ 丁 0.5(3x 5) w 依 °,
将小数全部变为分数，得
\o "Current Document" 2x 1 3x 5 x 1 5
0，
\o "Current Document" 3 2 6 4
去分母，得 4(2x-1)-6(3x-5)-2(x+1)+3 X 5 > 0,
去括号，得 8x-4-18x+30-2x-2+15 > 0,
合并同类项，得 -12X+39 > 0,
移项，得-12x > -39 ,
1
系数化为1，得 x 3 .
4
解法指导 既含有分母又含有小数的不等式， 可将小数化为分数，也可将分数化为小数,
但后者有可能出现无限小数，会使运算答案不准确，故常将小数全部化成分数后再解. 纵横发散
发散1已知
发散1
已知 6< mrc 12,
n 3m .求m+n的取值范围.
分析 由已知得出 和3m的取值范围，再确定 m+n的范围.
3
解?/ 6 < m< 12,
又
又
4 , 18W 3m< 36,
3m,
2 w nv 36 , 故 8 w m+rv 48.
1 1 1
发散2 p为何值时，方程 x -(3x p) -(2x 7p) 3 —(X 6p)有负数解.
5 2 2
分析 先解方程，求出x的值.在本题中，这是关于字母 p的表达式，然后再由 xv0
的条件，解关于p的不等式，确定p的取值范围.
解解方程，得
19x=30-3p ,
30 3p
19x
19
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1,6
1,
6 .
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?/ 方程有负数解，即 x v 0,
即 10 1p 0,
19
解此不等式，得 p > 10.
发散3当y取什么值时，代数式
的值满足下面条件:
4
(1)大于1 1 y的值；
2
1
⑵不大于—y 1的值;
2
⑶是非负数.
解(1)根据题意，得
2y 1
1 ly，
2y-1 > 4+6y, -5 > 4y,
5
y 4， y 5时，代数式
4
(2)根据题意，得
4
2y-1 < 6y-4 , 1< 4y,
1
y 4，
1
当y 1时，
4
2y
1 -的值大于
4
1 彳
2y 1，
1 1y的值
(3)根据题意，得
的值不大于1y
4 2
2y 1门
0 , 2y-1 > o,
4
1的值.
1 y
2
1
二当y 时,
2
【变形发散】
的值是非负数.
4
发散题
分析 的不等式.
a取什么值时，关于 x的方程-
4
a的代数式来表示
本题将原方程变形，以含
x 2a 1 2x -
4 2
6 彳
6a 1，
7
【转化发散】
2a
2x a 1的解大于1.
2
x，从而利用x> 1的条件解关于a
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1
发散1当x分别为何值时，代数式 (3 X)的值，
2
不小于1;
⑵为正数.
1
解(1)根据题意，有 —(3 x) 1，解这个不等式，得 x < 1.
2
1
当x取小于或等于1的值时，代数式 (3 x)不小于1；
2
1
根据题意，有 —(3 X) 0，解这个不等式，得 x V 3.
2
1
? 当x取小于3的值时，代数式 (3 x)的值为正数.
2
x
发散2当x取何值时，代数式4 的值，
3
2x 1
(1)小于2——1的值；
6
2x 1
⑵不小于 的值.
6
分析 依题意，将比较2个代数式之值大小的问题转化为解不等式问题.
x 2x 1
解(1)根据题意，要求不等式 4 - 的解集.
3 6
解这个不等式，得 24-2x V 2x+1,
23V
23V 4x 得
x
4
23 x 2x 1
所以当x取大于 仝的值时，4 x的值小于 么」的值;
4 3 6
(2)根据题意，要求不等式 4 -32x 1仝一
(2)根据题意，要求不等式 4 -
3
2x 1
仝一1的解集,
6
解这个不等式，得
23
x
4
所以当x取不大于
【逆向发散】
的值时,
4
x 2x 1 心士
3的值不小于〒的值.
发散 1 已知 | x 21 (3x y m)2 0.
(1)当m为何值时，y > 0;
⑵当m为何值时，y V -2 .
解?.T x-2 | > 0, (3x y m)2 0,
只有在丨x-2 |
只有在丨x-2 | =0且(3x y m )2
0时，它们的和才能等于
0,
因此，x=2 , 3x-y+m=0, ①
将x=2代入①，得 -y+m=-6 . ②
即 y=m+6 .
⑴ 要使 y> 0,即卩 m+6> 0,得 m > -6 .
当 m> -6 时，y> 0;
⑵要使 y v -2，即 m+6< -2，得 m v -8 .
?当 m< -8 时，y v -2 .
发散 2 若|3x 12| (5x y m)2 0 .
当y> 0时，求m的范围；
当yv 0时，求m的范围； ⑶当y=0时，求m的值.
解■/ |3x 121 (5x y m)2 0 ,
3x-12=0 , 5x-y-m=0 ,
x=4 , y=5x-m=20-m.
v y=20-m > 0 ? m v 20.
即当y> O时，mv 20;
v y=20-m v O ? m > 20.
即当yv O时，m> 20;
⑶ v y=20-m=0 ? m=20 .
即当y=0时，m=20
【变更命题发散】
2
发散1当k取何值时，方程 x 3k 5(x
3
分析先解方程，求x.
2
解 x 3k 5(x k) 1,
3
2x-9k=15(x-k)+3 ,
2x-9k=15x-15k+3 , 13x=6k-3 ,
6k 3
x
13 令 6k__3 06k-3 > 0,
13
1
2 .
1 、 、， 时，原方程的解为正数.
2
2
当k取何值时，方程 x 3k 5(x
3
k) 1的解是正数.
?- k
即当k
发散2
k) 1的解是负数.
分析先解方程，求x .
2
解 x 3k 5(x k) 1,
3
2x-9k=15(x-k)+3 ,
2x-9k=15x-15k+3 ,
13x=6k-3 ,
6x 3
13
令 6x 3 o .. 6k-3 v o.
13
1
? k
2 .
即当k
1
—时，原方程的解为负数.
2
【构造发散】
x x
发散1求同时满足不等式 6x-2 > 3x-4和 1 2 的整数x.
4 2
分析本题构造数轴分别将 2个不等式的解集在其上表示出来，然后观察其公共解集的 范围内有哪些整数.
2
不等式6x-2 > 3x-4的解集是x
3
TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" X X
不等式—1 2 —的解集是x v 4.
\o "Current Document" 4 2
-x 4（如3 \o "Current Document" x x
-x 4（如
3
所以，同时满足不等式6x-2 > 3x-4和 1 2 的x的取值范围是
\o "Current Document" 4 2
图1-6)，故满足条件的整数 x为0, 1, 2, 3.
2 -I i fl I
2 -I i fl I 2 3 4
发散2求不等式?茎上 乞公 的非负整数解.
3 4 2
解去分母得 4(3x-2)-3(9-2x) < 6(x-1),
化简整理得12x < 29,
29
x
12
不等式的非负整数解为 0, 1 , 2.
3x 4x2 1
发散3 求不等式3 x丄的正整数解.
3 2 6
解去分母得
2(3x+4)-3(x-2) > 6x-1 , 6x+8-3x+6 > 6x-1 ,
x v 5,
不等式的正整数解为1 , 2, 3, 4.
0的正整数解. TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" 1 1
0的正整数解.
\o "Current Document" 发散4求不等式 一(4x 3) —(x 5)
\o "Current Document" 3
解原不等式两边都乘以-2，得
1
TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" (4x 3) (x 5) 0 .
\o "Current Document" 11 14
x
\o "Current Document" 3
14
x
11
14
?/ 小于兰的正整数只有1,
11
原不等式的正整数解为 x=1
题组点评求正整数解的思路是先求不等式的解集， 然后在解集中寻找符合条件的正整
数.