实用标准文档
实用标准文档
文案大全
文案大全
等比数列知识点总结与典型例题
等比数列的定义:
an
an 1
2,且n N ，q称为公比
通项公式:
an
n 1 a〔 n
ag —q
q
0,A
0，首项：a1 ;公比：q
推广:
n m
an amq
n m On q —
am
q
n
an am
3、等比中项:
(1
(1)如果a,代b成等比数列，那么
A叫做a与b的等差中项，即：A2 ab或A . ab
注意：同号的两个数才有等比中项,
并且它们的等比中项有两个(
(2)数列an是等比数列 an2
an 1 an 1
4、等比数列的前
n项和Sn公式:
(1 )当q 1时,
Sn na!
ai anq
A'Bn A'
(A, B, A',B'为常数)
5、等比数列的判定方法:
(1)用定义：对任意的n
(1)用定义：对任意的n，
都有an 1
qan或q(q为常数，a“ 0) 佝｝为等比数列
an
(2)等比中项：an2
an 1 an 1 ( an 1 an 1
0) ｛an｝为等比数列
(3)通项公式:
an
A Bn A B 0
｛an｝为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义：若_a^ q
依据定义：若_a^ q
an 1
q 0 n 2,且 n
N或an 1 qan ｛a“｝为等比数列
7、等比数列的性质:
(2)对任何
(2)对任何m, n N
，在等比数列｛an｝中，有an amq
(3)若m n s t(m, n, s,t N )，则an am as at。特别的，当 m n 2k 时，得an am
注：ai
注：ai an
a2 an 1
a3an 2
等差和等比数列比较:
等差数列
等比数列
定义
an i an d
an i z c、
q(q 0) an
递推公
式
an an i d ; an am n md
n m
an an iq； an amq
通项公
式
an ai (n i)d
an aiq ( ai,q 0)
中项
A an k an k ( n,k N*,n k 0)
G v;an kan k (an kan k 0) ( n, k N*, n k 0 )
前n项和
n
Sn — (ai an)
2
S na n(n i) d
Sn nai d
2
nai(q i)
Sn ai i qn ai anq
i i n (q 2)
i q i q
重要
性质
am an a p aq
(m, n, p,q N*,m n p q)
a m an a p a q
*
(m, n, p, q N ,m n p q)
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例 1 .等比数列｛an｝中，ai a9 64, a3 a? 20 ,求 an .
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于ai和q的二元方程组，解出ai和
q，可得aii ;或注意到下标1 93 7，可以利用性质可求出a3、a
q，可得aii ;或注意到下标1 9
解析:
设此数列公比为q，则8a
设此数列公比为q，则
8
ai a? ai aiq 64
2 6 “
a3 a7 aiq qq 20
(i)
⑵
由(2)得：aiq2(1 q4) 20 (3)
/.a-i 0.
由(1)得：(a-q4)2 64 , /.a-q4 8 ……(4)
（3）宁⑷
（3）宁⑷得:
1 q4
2
q
20
8
/?2q4 5q2 2 0 解得 q2 2 或 q2 -
2
当 q2 2 时，a1 2, an @ q10 64;
1
当 q 时，a1 32, an 4 q 1 .
2
法—:a1 a? a3 a7 64 ,又 a3 a7 20 ,
/?a?、a7为方程x2 20x 64 0的两实数根,
TOC \o "1-5" \h \z a3 16 「 a3 4
或
a7 4 a7 16
2
. 2-a3
. 2
-a3 a〔1 a7
? ￡11 — 1 或 an 64 .
a3
总结升华:
列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量;
解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用 除法（除式不为零）?
举一反三：
【变式1】｛an｝为等比数列，a1=3，ag=768，求a6。
【答案】±96 法一：设公比为 q，则 768=a 1q8，q8=256，：q= ±2，：a6= ±96 ;
法二：a52=a 1a9 a5= ±48 q= ±2，：a6= ±96。
【变式2】｛an｝为等比数列，an>0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。
【答案】64;
2
-a〔a89 a45 16 , ^又 an > 0 , —345=4
a
a44a45a46
a45 64。
【变式3】已知等比数列佝｝，若ai a
【变式3】已知等比数列佝｝，若ai a2 as 7, a&as
8，求 an。
【答案】an 2n 1或an 23n；
.. 2 3 c
? a〔a3 a? ,? ? ai a2 a3 a? 8
,a2
a1 a3 5
从而 ,解之得ai 1 , a3 4或ai 4, a3 1
aia3 4
1
当 ai 1 时，q 2 ;当 ai 4 时，q —。
2
故 an 2n 1 或 an 23n。
法二：由等比数列的定义知a2 aiq , a3 ag2
代入已知得可 a
代入已知得
可 a1q a1q2 7
2 小
ai aiq 8
2 2
3 3aiqai(1 q q ) 7, 吐1
3 3
aiq
qq 2
2
将 ai 代入(1 )得 2q2 5q 2 0 ,
q
1
解得q 2或q -
2
彳 a 4 Q 1
由(2 )得 或 1 ，以下同方法
q 2 q -
类型二：等比数列的前n项和公式
求数列的公比q.例2 ?设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9, 解析：若 q=1，则有 S3=3a i, S6=6a i, S9=9a i
求数列的公比q.
因ai丸),得S3+S6工2S9 ,显然q=1与题设矛盾，故q =
3 6 9
由S3 S6 2S9得，色^4旦!—！如』，
1 q 1 q 1 q
整理得 q3(2q6-q3-1)=0 ,
由 q 丸)，得 2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q 3-1)=0 , 因q3刊，故q3舟，所以q *
举一反三：
1 1
【变式1】求等比数列1,-,-,L的前6项和
3 9
【答案】364
【答案】
364
243
S
S6
364
243
【变式2】已知：｛an｝为等比数列, a1a2a3=27 , S3=13，求 S5.
【答案】
12诚
121；
9；
3
'/a2
27
a2
3，13
4(1 q3)
1 q
，则 a1=1 或 a1=9
?S5
35
121或 S5=
1- 1
35
□
3
121
9
【变式3】在等比数列｛an｝中，印an
66， a2 an 1 128， Sn 126，求 n 和 q。
1
【答案】q亍或2，n 6；
a.an 128
a1
64
2
解方程组
，得
或
q an 66
an
2
an
64
①将a1
64
c代入Sn
a1
anq
得q
1
an
2
1
q
2
-a2 an 1
ai an，：a1an 128
由 an agn 1，解得 n 6 ;
实用标准文档
实用标准文档
4文案大全
4
文案大全
②将ai L代入Sn ，得q 2 ,
an 64 1 q
由 an aiqn 1，解得 n 6。
1 、
--q —或 2, n 6。
2
类型三：等比数列的性质
例 3.等比数列｛a.｝中，若 a5 a6 9，求 loggai log3 a2 ... log3a\o
解析：
'｛an｝是等比数列， ai aio a? ag ag a? a6 9
?'?logga
?'?loggai logg a2
log 3 aio
log 3(ai a2 a3 L aio) log 3? a6) log3 9 i0 举一反三:
【变式1】正项等比数列｛an｝中，若ai ai00=100;贝U lga i+lga 2+ +lga 100=
【答案】100；
Tlgai+lga 2+lga 3+ +lga i00=lg(a 1 a2 a3 ai00)
而 ai ai00=a 2 a99=a 3 a98= =a 50 asi 原式=lg(a 1 ai00)50=50lg(a 1 ai00)=50 x|g100=100 。
【变式2】在. 2 3 3 6? ? a2
. 2 3 3 6
? ? a2 a3 a4 a〔q a〔q a〔q ai q
3 2
【答案】216 ;
法一：设这个等比数列为
｛an｝，其公比为q，
a5
27 4
7 *
63 216。
法二：设这个等比数列为｛an｝，公比为
q，贝 U ai
8 27
3，as 7，
加入的三项分别为a2，a3，a4，
实用标准文档
实用标准文档
文案大全
文案大全
由题意a
由题意ai , a3, as也成等比数列，二a；
8 27 36，故 a3 6 ,
3 2
? ? a? a3 a4 a3 a3 a3 216。
类型四：等比数列前n项和公式的性质
例4 .
例4 .在等比数列｛务｝中，已知Sn 48 ,
S2n
60 ,求 Sgn 。
思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中 前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。
解析:
法:令 b 1 =Sn =48, b 2=S 2n -S n=60-48=12 , b 3=S 3n -S2n
观察 bi=a i+a2+ +an.
b2
b2=a n+1 +a n+2 +
+a 2n=q n(ai+a2+ +a n),
b3
b3=a 2n+1 +a 2n+2 +
+a 3n=q2n (ai+a2+ .?…+an)
易知bi
易知bi,b2,b3成等比数列,
二 b3
122
石3,
S3n=b 3+S2n=3+60=63.
法~ : - S2n 2Sn，…q 1
a"1 qn) 48
1 q
由已知得 q2
ai(1 q2n)60 i q
②十①得1
②十①得1
qn 5，即 qn
4
代入①得
-，S3nai(163法三:｛a
-，S3n
ai(1
63
法三:
｛an｝为等比数列，? Sn ,
S2n
Sn , S3n S2n也成等比数列,
? (S2n
2
Sn) Sn (S3n S2n ),
Gn &)2
S(60 48)2
Gn &)2
S
(60 48)2
""48
60
63。
举一反三:
【变式1】等比数列 何｝中，公比q=2, S 4=1,则S8= .
【答案】17；
S8=S4+a 5+a6+a7+a8=S4+a iq4+a2q4+a 3q4+a 4q4=S4+q 4(ai+a2+a 3+a4)=S 4+q 4S4=S4(1 +
q4)=1 x(1+2 4)=17
【变式2】已知等比数列 ?｝的前n项和为Sn,且Sio=1O, S 20=40,求：S30= ?
【答案】130 ;
法一：S10 , S20-S10, S30-S20 构成等比数列，二(S20-S10)2=S 10 (S30-S20)
即 302=10(S 30-40), .$30=130.
法二：’.2S10 MS20,
印(1 q10)20 \1-20 普 40
印(1 q10)
20 \
1-20 普 40,
10
1 q
20
1 q
1 . 10 /q
二 S30
30 x
a1 (1 q )
3
(5)(1 33) 130.
【变式
3】等比数列｛an｝的项都是正数，若
Sn=80, S 2n =6560，前n项中最大的一项为 54 ,
--SnaW qn)
--Sn
aW qn)
1 q =80
(1)
S2n
a" q2n)
1 q =6560……⑵，
求n.
S 80 S
S2nS2n【答案】亠6560，-q 1（
S2n
S2n
⑵ 十(1)得：1+q n=82, /qn=81……⑶ 该数列各项为正数，?由⑶知q>1
文案大全
文案大全
实用标准文档 ｛an｝为递增数列， an为最大项54.
an=a iqn-1 =54, /aiqn=54q,
TOC \o "1-5" \h \z 81ai=54q (4)
54 2 2
?ai q -q 代入⑴得 q(1 81) 80(1 q),
81 3 3
q=3, 5=4.
【变式 4】等比数列｛an｝中，若 ai+a2=324, a 3+a4=36,贝U a5+a 6= .
【答案】4；
令 bi=ai+a2=a i(1+q) , b2=a 3+a4=a iq2(1+q),b 3=a 5+a6=a iq4(1+q),
易知：bi, b2, b3成等比数列，? b3= 2 =邑=4,即a5+a6=4.
b 324
【变式5】等比数列｛an｝中，若ai+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56,求az+a 8+a 9的值。
【答案】448 ;
'?｛an｝是等比数列，?(a4+a 5+a 6)=(a i+a2+a 3)q3, uq3=8,
/?a7+a 8+a 9=(a 4+a 5+a 6)q 3=56 X8=448.
类型五：等差等比数列的综合应用
例5 .已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差
数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并
将其设为整式形式.
解析：
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32 成等比数列，a-d, a-4, a+d 成等比数列.
2
TOC \o "1-5" \h \z a (a d)(a d 32) (1)
"(a 4)2 (a d)(a d) (2)
由(2)得 a= - 16 (3)
实用标准文档
实用标准文档
文案大全
文案大全
由 ⑴ 得 32a=d 2+32d (4)
8
(3)代⑷消a，解得d -或d=8.
当d 8时,a 26 ;当 d=8 时,a=10
9
?原来三个数为2,哲，空 或2,10,50.
9 9 9
法二：设原来三个数为a, aq, aq 2，则a, aq,aq 2-32成等差数列，a, aq-4, aq 2-32成等比数 列
2aq a aq2 32 (1)
"(aq 4)2 a(aq2 32)……(2)
2
由⑵得a ，代入(1)解得q=5或q=13
q 4
当q=5时a=2 ;当q=13时a 原来三个数为2,10 , 50或2 , 一，——.
9 9 9
总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。
一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,
X
a, a+d ;若三数成等比数列，可设此三数为 一，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采
y
用首项a，公比q来解决问题反而简便。
举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4 ,,那么所得的三项就成为等差数列，
如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数
列.
io 50
【答案】为2，6, 18或2，岁，50；
9 9 9
设所求的等比数列为a，aq，aq2；
则 2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4) 2=a(aq 2+32)；
2
解得 a=2，q=3 或 a -，q=-5；
9
故所求的等比数列为2 , 6,18或2,卫,50.
9 9 9
【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27,它们的平方和为91，求这三个数
【答案】1、3、9 或—、3、-9 或 9、3、1 或-9、3、— 设这三个数分别为a,a,aq ,
q
由已知得aa aq 27
由已知得
a
a aq 27 q
2
a 2 2 2
2 a a q q
91
a 3
a2(丄 q2 1) 91 q
1
得9q4 82q2 9 °,所以q2 9或q2 9，
故所求三个数为:1、
故所求三个数为:
1、3、9 或—、3、-9 或 9、
3、1 或-9、3、— o
【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第 四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
【答案】0 ， 4 ， 8，16 或 15，9，3，1;
设四个数分别是x,y,12-y,16-x
2y x 12 y.……⑴
? ? 2
(12 y)2 y(16 x)…….⑵ 由(1)得 x=3y-12，代入⑵得 144-24y+y 2=y(16-3y+12)
?144-24y+y 2=-3y 2+28y, 4y2-52y+144=0,
y2-13y+36=0, ? y=4 或 9， ? x=0 或 15，
四个数为 0， 4， 8，16 或 15，9，3，1.
类型六：等比数列的判断与证明 例6 .已知数列｛an｝的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n € N+),求出数列｛an｝的通项公式,
并判断｛an｝是何种数列？
思路点拨：由数列｛an｝的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断｛an｝类型?
解析：Jog 5(Sn+1)=n, ?$.+仁5 n,「.Sn=5n-1 (n € N+),
ai=S 1=5 1-1=4,
当 n >2 时，an=S n-Sn-i =(5n-1)-(5 n-1-1)=5 n-5n-1=5n-1 (5-1)=4 X5n-1
而 n=1 时，4 X5n-1 =4 X51-1 =4=a 1,
?'?n € N + 时，an=4 X5n-1
由上述通项公式，可知｛an｝为首项为4，公比为5的等比数列.
举一反三：
【变式1】已知数列｛Cn｝，其中Cn=2n+3n，且数列｛Cn+1-pCn｝为等比数列，求常数p。
【答案】p=2或p=3；
｛Cn+1 -pC n｝是等比数列，
对任意 n € N 且 n >2，有(Cn+1 -pC n)2=(C n+2 -pC n+1 )(Cn-pC n-1)
Cn=2 n+3 n,.?.[(2n+1 +3 n+1 )-p(2 n+3 n)]2=[(2 n+2 +3 n+2 )-p(2 n+1 +3 n+1 )] [(2 n+3 n)-p(2 n-1 +3 n-1)]
即[(2-p) 2n+(3-p) 3n]2=[(2-p) 2n+1 +(3-p) 3n+1 ] [(2-p) 2n-1 +(3-p) 3n-1]
1
整理得：—(2 p)(3 p) 2n 3 n 0,解得：p=2 或 p=3,
6
显然Cn+1 -pC n ^0，故p=2或p=3为所求.
【变式2】设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，Cn=a n+bn,证明数列｛Cn｝不是等比数
列.
【证明】设数列｛an｝、｛bn｝的公比分别为p, q，且p刊
为证｛Cn｝不是等比数列，只需证C1 C3 C；.
C； (ae dq)2 q2p2 d2q2 2a10pq,
TOC \o "1-5" \h \z 2 2 2 2 2 2 2 2
C1 C3 (a1 b1)(a1 p bq )印 p d q abMp q )
2 2
—C1 C3 C2 816( p q),
又? p ?，a 1 却，b 1 mO,
Ci C3 C2 0 即 Cl C3 C2 数列｛Cn｝不是等比数列.
【变式3】判断正误：
⑴｛an｝为等比数列 a7=a 3a4；
⑵若b2=ac，则a，b，c为等比数列；
(3)｛an｝, ｛bn｝均为等比数列，则｛anbn｝为等比数列;
⑷｛an｝是公比为q的等比数列，则｛a：｝、
i
-仍为等比数列;
an
(5)若 a，b，c 成等比，贝U log ma，log mb，log mC 成等差.
【答案】
⑴错；a7=a iq
⑴错；a7=a iq6，a3a4=a iq2 aiq3=a i2q5，等比数列的下标和性质要求项数相同;
⑵错；反例：02=0 X0，不能说0， 0， 0成等比；
⑶对；｛anbn｝首项为a1b1，公比为qg2；
q
-8成等比，但log m (-2)无意义.
2
⑷对；av
昔；反例:
q2,ani
an
-2，-4，
类型七：Sn与an的关系
例7 ?已知正项数列｛an｝，其前n项和Sn满足10Sn a； 5an 6，且a1，a3，a15成等比数列, 求数列｛an｝的通项an.
2
解析：10Sn an 5an 6， ①
.?.i0ai a2 5ai
6，
解之得
ai=2
或 ai=3.
又 i0Sn i an i
5an i
6(n
2)，
②
由①-②得i0an
(a；
an i )
5(an
an i)，即(an an i)(an an i 5) 0
-an+a n-i > 0，? .an -a n-i =5(n》2).
当 ai=3 时，a3=13 , ai5=73 , ai, a3, ai5 不成等比数列
?'?ai 工3;
当 ai=2 时，a3=12 , ai5=72，有 a32=a iai5,
? ai=2 ,an=5n-3.
总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是 an ai （n i），尤
Sn S.i （n 2厂
其注意首项与其他各项的关系?
举一反三：
【变式】命题i :若数列｛an｝的前n项和Sn=an+b（a判），则数列｛an｝是等比数列；命题2: 若数列｛an｝的前n项和Sn=na-n，则数列｛an｝既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中， 真命题为 个.
【答案】0;
由命题 i 得，ai =a+b，当 n >2 时，an=Sn-Sn-i =（a-i） an_i.
若｛an｝是等比数列，则里a，即或^卫a，
ai a b
所以只有当b=-i且a^0时，此数列才是等比数列.
由命题 2 得，ai=a-i，当 n >2 时，an=Sn-Sn-i =a-i ，
显然｛an｝是一个常数列，即公差为0的等差数列，
因此只有当a-i工0,即a右1时数列｛an｝才又是等比数列.
(2)当q 1时,