【因无理数的困惑】 什么是无理数?

　　由于减法，引出了负数，于是有了负数的概念。虽然负数在公元前已经出现，但是，由于人的认知差异，社会形态的差异，所以长期以来，负数没有得到普遍认同。不过，我国古代数学家首先认同了负数，并且定义了负数，即：负数表示亏欠。这是一个直观的定义，包含了一定的商品经济意义。这个定义的出现，可以追溯到纪元初。可是，人类在数学逻辑上，认识到负数的合理性，则是19世纪的事了。数学逻辑意义下的负数，包含了亏欠。

　　然而，无理数的经历，就不是那么的简单了，虽然无理数也是在19世纪得到确认的。二千多年前，在古希腊，以数学家毕达哥拉斯（公元前约572——497年）为首的学派，学派中的希帕索斯（Hippasus公元前500年）先生，由于在研究几何中的正方形，边长与对角线长之比中发现：正方形的边长与对角线长之比，不能用两个整数之比（有理数）来表达。也就是说，正方形的边长与对角线长，是不可公度比的。直观的就是：任何一个边长可以公度的正方形，其对角线不可公度。关于这个问题，毕达哥拉斯学派中的数学家，用毕达哥拉斯定理（勾股定理），给予了数学证明。于是，出现了一个新的数——不可公度比，即无理数。可公度比的数，称有理数。

　　此时，毕达哥拉斯学派傻眼了，他们万万没有想到，用已知的数，研究计算几何中的长度问题时，冒出了新的数，即无理数。有理数与无理数是两种性质完全不同的数。无理数的出现，使得毕达哥拉斯学派的数学真理遇到了挑战。这就是数学史上著名的第一次数学危机。据说，毕达哥拉斯学派中的人，把发现无理数的数学家希帕索斯先生，投到海里喂鱼。希帕索斯先生发现了无理数，却成了无理数的牺牲品。由此可知，荣誉，欲望，威权，至高无上，是如此的残酷。

　　成书于我国二千多年前，西汉初期的《周髀算经》中，已经应用勾股定理计算天文学上的问题。因为勾股定理，必然涉及到开平方。因为开平方，必然会出现无理数。所以我国古代的数学家，一定也遇到了无理数。到了《九章算术》时期，《九章算术》中详细介绍了开平方的方法和原理。可是，绝大多数的数，开方是开不到尽头的。我国古代的数学家，虽然认识到了这种情况有点怪，但也顺理成章，所以采取了用近似值的方法，加以应用。并没有去深究其为什么，因而没有触及到无理数的概念。

　　毕氏学派由于发现无理数而感到了困惑，到底是数学出了问题，还是逻辑出了问题。关于这个问题，不仅困惑了毕氏学派，同样也困惑了其他的数学家，以至不能接受。然而，这个无理数，没有困惑到我国的数学家。魏晋时期的数学家刘徽（公元225年—295年），刘徽先生是用有理数去近似无理数的方法，从而试图取代无理数。可惜，刘徽等数学家们，没有从根本上研究无理数，这也许是，我国的数学终究没有发展到，近代数学的原因之一。虽然在计算方法的某些邻域，在当时的世界上领先。

　　其实，东西方数学的基础，有本质上的不同，西方数学早就建立在逻辑基础上了，即所谓的纯粹数学；我国的数学，始终在商品经济层面上徘徊，属于所谓的应用数学，是讲究实用的，在本质上是算术性质的，因此永远不会有危机。

　　在西方，直到19世纪，把无理数作为一个数的存在，是德国数学家戴德金（Dedekind,公元1831——1916年）给出了逻辑地定义以后，即无理数的戴德金定义，得到了确认，尽管这个无理数的定义有点不自然。于是，延续了二千多年的第一次数学危机才告结束。此时，数的概念早已超越了手指头、脚趾头以及商品经济，而是逻辑的结果。因此，无理数的出现，不是数学本身出了问题，也不是逻辑的问题。而是，自毕氏学派起，到以后的二千多年里，人们没有正确的认识到它的存在。尽管如此，数学还是所有科学的基础。

　　由此可知，人类的理性思维，是获得正确认识的前提，每一个正确的认识，总要经过长时间的思辨和磨练。所以，人类的每一正确认知，是多么的来自不易。经验不一定可靠，实践也不是检验存在与否的万能钥匙。人，在自然界的面前，实在太渺小了。

　　毕达哥拉斯学派无疑是一个伟大的数学家群体。可是，当毕氏学派中的数学家希帕索斯，发现了无理数，并且勇敢地发表时，毕氏学派的恐惧悠然升起，毕氏学派不去探究其为什么，而是干起了杀人的勾当。当他们用杀人来维护毕氏学派的信条时，毕达哥拉斯学派的数学王国，也就此结束了。

　　公元前221年，当秦始皇通过战争统一全国后，由于先秦诸子思想的存在，使得始皇帝寝食难安，始皇帝采用了焚书坑儒的方法，试图统一思想。其结果，造成了我国长达二千多年的专制统治，使得社会的发展长期的缓慢。不过，杀戮只能消灭人的肉体，但不能消灭真理，也不能消灭人的思想。

　　因为毕达哥拉斯学派发现了无理数，从而引起了困惑。人类因为有了困惑，所以有争论，也有探究。争论与探究早已超越了国界，成为了人类共同对真理的追求。争论与探讨的结果，在数学上，最终导致了实数系统的诞生，也许这是毕氏学派没有预料到的。所有这一切，是人类历史的必然，还是偶然？

　　吾爱吾师，吾更爱真理（亚里士多德语）。

　　二0一二年二月

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