求逆矩阵的若干方法和举例
苏红杏
广西民院计信学院 00数本（二）班
[ 摘 要 ] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[ 关键词 ] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等
引 言 在我们学习《高等代数》 时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义 : n 阶矩阵 A为可逆，如果存在
矩阵，此时， B 就称为 A 的逆矩阵，记为
n 阶矩阵 B ，使得
1 1
A ，即：B A
AB
BA
E ，这里
E 是 n 阶单位
方法 一. 初等变换法（加边法）
我们知道， n阶矩阵 A为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积
A=Q1Q 2 Qm ， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系
列初等矩阵 Q1Q2 Qm 使
Qm Qm 1
Q1A E
（1）
则 A 1 =Qm Qm 1
Q1A E
（ 2）
把A，E这两个 n阶矩阵凑在一起，做成一个 n*2n 阶矩阵（ A，E），按矩阵的分块乘法，
（ 1）（ 2）可以合并写成
Qm Qm 1 Q1 （ A， E） =（ QmQm 1
Q1 ， A， Q mQ m 1
Q1 E ）=（E， A 1
） （3）
这样就可以求出矩阵 A的逆矩阵
A 1 。
0
1
2
例1.设A= 1 1
4
求 A1。
2
1
0
解：由（ 3）式初等行变换逐步得到：
0
1
2
1
0
0
1
1
4
0
1
0
1
1
4
0
1
0
0
1
2
1
0
0
2
1
0
0
0
1
2
1
0
0
0
1
1
0
0
2
1
1
1
0
0
2
1
1
0
1
0
4
2
1
0
1
0
4
2
1
0
0
2
3
2
1
0
0
1
3
1
1
2
2
2
1
1
于是 A1=4
2
1
3
1
1
2
2
说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。方法 二. 伴随矩阵法
定理：矩阵 A是可逆的充分必要条件是 A非退化，而 A 1 = 1 A* ，（ d= A 0） (4)
d
我们用（ 4）式来求一个矩阵的逆矩阵。
1 2 3
例 2. 求矩阵 A的逆矩阵 A 1：已知 A= 2 2 1 3 4 3
解： d= A =9+6+24-18-12-4=2 0
A11 =2A12 =-3
A13 =2
A21 =6
A22 =-6
A23 =2
A31 =-4 A32 =5
A33 =-2
用伴随矩阵法，得
1
3
2
A 1=1
A* =
3
3
5
d
2
1
2
1
1
说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。
方法 三. 矩阵分块求逆法
在进行高阶矩阵运算时， 经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块， 每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算， 一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。
引出公式：
设T的分块矩阵为： T=
A
B
其中 为可逆矩阵，则
C
,
T
D
T 1 =
A 1
A 1B (D CA 1B) 1CA 1
A 1B(D CA 1B) 1
,
（5）
(D CA 1B) 1CA 1
(D CA 1B) 1
说明：关于这个公式的推倒从略。
1
0
0
3
例 3.
求下列矩阵的逆矩阵，已知
0
1
0
4
W=
0
1
2
0
3
4
2
5
解：将矩阵 W分成四块，设
1
0
0
3
A=010,
B=4,
C=3 4 2,
D=5,
0
0
1
2
于是
( D
CA 1B)
(
24),即
(D CA 1B) 1=(
1 )
24
3
A 1B =B=
4 ,
CA 1=C=3
4
2 ，
2
利用公式（ 5），得
15
12
6
3
W 1 =
1
12
8
8
4
6
8
20
2
24
3
4
2
1
方法 四. 因式分解法
若 Ak
0 ，即（ E-A）可逆，且有 ( E A) 1 =E
A
A2
AK 1，
（ 6）
我们通过上式（ 6），求出 A 1
例 4.求下面矩阵的逆矩阵，已知：
1
1
2
3
4
0
1
1
2
3
A=
0
0
1
1
2
,
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
解：因为存在一个 K 0，使
K
，把这里的（
）替换（
6
）式中的“ ”，得
(E A)
=0
E-A
A
A 1=E (E A) (E A)2
(E A)K 1
1
1
2
3
4
4
0
1
1
2
3
通过计算得 ( E A)4 = 0
0
1
1
2
=0，即 K=4
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
所以 A 1=E (E A) (E A)2
(E A)3
1
0
0
0
0
0
1
2
3
4
0
1
0
0
0
0
0
1
2
3
=00100+00 0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
= 0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
方法 五.多项式法
我们知道，矩阵 A可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式 f(x)，满足 f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。
2 1
例 5.已知矩阵 A=
33
，且 A满足多项式 f(x)= X 2 5X 3E 0，即 A2 5A 3E 0 试证
明A是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。
证：由
A
2
5
A
3
0
，可得
E
A(
1 A
5E) E
3
从而可知 A为可逆矩阵，并且
A 1
1 A
5 E
3
3
1
1
2
1
5
1
0
1
3
3
3
3
3
0
1
2
1
3
方法 六. 解方程组法
1
在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式
AAE两端
对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。
1 2 3
例 6.求A= 2 2 1 的逆矩阵 3 4 3
解：求可逆矩阵 A的逆矩阵 X，则它满足 AX=E，设 X
(X1, X2, X3) ，则
1
0
0
AX1
0 ，
AX21，
AX30
0
0
1
利用消元解法求
x1i
X ix2 i
（i=1,2,3）
x3i
解得：
1
3
2
A 1
X
3
3
5
2
11
2
0
1
方法 七. 准对角矩阵的求逆方法
A11
0
0
0
A22
0
定义：形如
A
, Aii 是矩阵 i 1,2, n 。
0 0 Ann
A称为准对角矩阵。
其求逆的方法：可以证明：如果 A11 , A22 , , Ann 都可逆，则准对角矩阵也可逆，且
A11
0
0
1
0
0
A111
0
A22
0
0
A221
0
0
0
Ann
0
0
Ann1
4
0
0
0
例 7.
0
3
2
0
，求A1。
已知 A
0
1
5
0
0
0
0
5
A11
0
0
解：设 A11
3
2
A0
A22
0
=4
22
33
5
A
A
1
5
0
0
A33
求得： A111 1 ,
A221
1
5
2
A331
1
4
17
1
3
5
1
0
0
0
1
0
0
4
A11
5
2
0
0
A
1
0
1
0
17
17
所以
A22
1
3
0
0
0
0
1
17
17
A33
1
0
0
0
5
方法八 .恒等变形法
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。
而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
1
3
例 8.已知 A6
E ，求A11
，其中A2
2，
3
1
2 2
解：对已知矩阵等式 A6 E 进行恒等变形，得
A6
E?A6
A6?A6
A?A11
E
于是， A11
A 1 ，又因为 A是正交矩阵， A 1
AT ，所以
1
3
11
A
1
A
T
2
2
A
3
1
2
2
方法九 .公式法
利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。
１）
二阶矩阵求逆公式（两调一除）：若
a
b
11
d
b
Ａ＝
，
则 A
c
a
c
d
A
２）
初等矩阵求逆公式：
Eij
1
Eij
Ei
1 (k) Ei ( 1 )
k
Eij
1 ( k) Eij ( k )
３）
对角线及其上方元素全为１的上三角矩阵的逆矩阵
1
1
1
1
0
1
1
1
的逆矩阵为：
A
0 0 0 1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
A 1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
４） 正交矩阵的求逆公式：
若 A为正交矩阵，则 A 1 AT
5）其他常用的求逆公式：
(AB) 1
B1A1
( AT
)1 (A1)T
(A*) 1
1
(A1)* A A
A1,A2 ,A3, , AS可逆 ，则 (A1A2
AS) 1
AS 1
A21 A1 1
例
9. 已知：
1
0
0
1
1
1
A 0
1
0，B0
1
1 ，求 (AB) 1。
0
0
1
0
0
1
解：由于 A是初等矩阵，由公式得： A 1 A
1
1
0
而B为元素都为 1的上三角矩阵，由公式得： B 1
0
1
1 ，再由公式得：
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
(AB) 1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
到此为止，我已介绍了 9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于其方法不是很简便，在此略。这些方法各有所长，读者可根据实际情况进行选择。当然，除此之外还有其它方法。希望能和大家在今后的学习中，共同研究出更方便，更有效的矩阵求逆方法。
参考文献：
高等代数 / 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编。
[2]
高等代数一题多解 200例 / 魏献祝
编
福建人民出版社。
[3]
线性代数学习指导 / 戴宗儒 编
科学技术出版社。
线性代数解题方法技巧归纳 / 毛纲源 编 华中理工大学出版社。
数学手册 / 《数学手册》编写组编
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