下面是小编为大家整理的第三章,专题强化 卫星变轨问题和双星问题（完整文档）,供大家参考。
[学习目标] 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化. 2.掌握双星运动的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度等问题．
一、人造卫星的变轨问题 1．变轨问题概述 (1)稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即 G Mmr 2＝m v2r. (2)变轨运行 卫星变轨时，先是线速度 v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径 r 发生变化． ①当卫星减速时，卫星所需的向心力 F 向 ＝m v2r减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁． ②当卫星加速时，卫星所需的向心力 F 向 ＝m v2r增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁． 2．实例分析 (1)飞船对接问题 飞船与在轨空间站对接 先使飞船位于较低轨道上，然后让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道飞船完成对接(如图 1 甲所示)． 注意：若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道． 通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙．
图 1
图 2 (2)同步卫星的发射、变轨问题 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，在 Q 点点火加速做离心运动进入椭圆轨道 2，在 P 点点火加速，使其满足 GMmr 2＝m v2r，进入同步圆轨道 3 做圆周运动． 例 1 如图 3 所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道 3.轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，则当卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法中正确的是(
)
图 3 A．卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率 B．卫星在轨道 3 上的周期大于在轨道 2 上的周期 C．卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的速率大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的速率 D．卫星在轨道 2 上经过 P 点时的加速度小于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度 答案 B 解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有：
G Mmr 2＝m v2r，v＝GMr 因为 r 1 ＜r 3 ，所以 v 1 ＞v 3 ，A 项错误， 由开普勒第三定律知 T 3 >T 2 ，B 项正确； 在 Q 点从轨道 1 到轨道 2 需要做离心运动，故需要加速． 所以在 Q 点 v 2Q >v 1Q ，C 项错误． 在同一点 P，由 GMmr 2＝ma 知，卫星在轨道 2 上经过 P 点的加速度等于它在轨道 3 上经过 P点的加速度，D 项错误．
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1．判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断． 2．判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小．
3．判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析． 4．判断卫星的加速度大小时，可根据 a＝ Fm ＝GMr 2 判断． 针对训练 (多选)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图 4 所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有(
)
图 4 A．在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于经过 B 点的速度 B．在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的速度 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过 A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的加速度 答案 ABC 解析 在轨道Ⅱ上由 A 点运动到 B 点，万有引力做正功，动能增加，所以经过 A 的速度小于经过 B 的速度，A 正确；从轨道Ⅰ的 A 点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，所以在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的速度，B 正确；根据开普勒第三定律 R3T 2 ＝k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，C 正确；在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ上通过 A 点时所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，加速度相等，D 错误． 二、双星或多星问题 1．双星模型 (1)如图 5 所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”．
图 5 (2)双星问题的特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同． ②两星的向心力大小相等，由它们之间的万有引力提供． ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r 1 ＋r 2 ＝L. (3)双星问题的处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 G m 1 m 2L 2＝m 1 ω 2 r 1 ，G m 1 m 2L 2＝m 2 ω 2 r 2 . 2．多星系统 在宇宙中存在类似于“双星”的如“三星”“四星”等多星系统． 在多星系统中：(1)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的． (2)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同． 例 2 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点 O 为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图 6 所示．已知双星的质量分别为 m 1 和 m 2 ，它们之间的距离为 L，求 m 1 、m 2 的运行轨道半径 r 1 和 r 2 及双星的运行周期 T.
图 6 答案 Lm 2m 1 ＋m 2
Lm 1m 1 ＋m 2
4π 2 L 3Gm 1 ＋m 2
解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力，对 m 1 ：
Gm 1 m 2L 2＝m 1 r 1 ω 2 ， 对 m 2 ：
Gm 1 m 2L 2＝m 2 r 2 ω 2 ，且 r 1 ＋r 2 ＝L， 解得 r 1 ＝Lm 2m 1 ＋m 2 ，r 2 ＝Lm 1m 1 ＋m 2 . 由 G m 1 m 2L 2＝m 1 r 1 4π2T 2及 r 1 ＝Lm 2m 1 ＋m 2 得 周期 T＝4π 2 L 3Gm 1 ＋m 2 . 例 3 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图 7 所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，引力常量为 G，下列说法正确的是(
)
图 7 A．每颗星做圆周运动的角速度为GmL 3 B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C．若距离 L 和每颗星的质量 m 都变为原来的 2 倍，则周期变为原来的 2 倍 D．若距离 L 和每颗星的质量 m 都变为原来的 2 倍，则线速度变为原来的 4 倍 答案 C 解析 任意两星间的万有引力 F＝G m2L 2 ，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系和牛顿第二定律可得：
3F＝ma＝mω 2L3 ，联立可得 ω＝3GmL 3，a＝ω 2L3 ＝3GmL 2，选项 A、B 错误；
由周期公式可得 T＝ 2πω ＝2πL 33Gm ，L 和 m 都变为原来的 2 倍，则周期 T′＝2T，选项 C 正确；由速度公式可得 v＝ωL3 ＝GmL，L 和 m 都变为原来的 2 倍，则线速度 v′＝v，选项D 错误．
1．(卫星变轨问题)2019 年春节期间，中国科幻电影里程碑的作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图 8 所示，地球在椭圆轨道Ⅰ上运行到远日点 B 变轨，进入圆形轨道Ⅱ.在圆形轨道Ⅱ上运行到 B 点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳束缚．对于该过程，下列说法正确的是(
)
图 8
A．沿轨道Ⅰ运动至 B 点时，需向前喷气减速才能进入轨道Ⅱ B．沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期 C．沿轨道Ⅰ运行时，在 A 点的加速度小于在 B 点的加速度 D．在轨道Ⅰ上由 A 点运行到 B 点的过程，速度逐渐增大 答案 B 2．(卫星、飞船的对接问题)如图 9 所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空间实验室于 2016 年 10 月 19 日自动交会对接成功．假设对接前“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(
)
图 9 A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C 解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项 A 错误；空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于 万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项 B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项 C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项 D 错误． 3．(双星问题)冥王星与其附近的另一星体“卡戎”可视为双星系统，冥王星与星体“卡戎”的质量比约为 7∶1，同时绕它们连线上某点 O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕 O 点运动的(
) A．轨道半径约为“卡戎”的 17
B．角速度大小约为“卡戎”的 17
C．线速度大小约为“卡戎”的 7 倍 D．向心力大小约为“卡戎”的 7 倍 答案 A 解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B 错误．双星的向心力为二者间的万有引力，所以向心力大小相等，D 错误．根据 m 1 ω 2 r 1 ＝m 2 ω 2 r 2 ，得 r 1r 2 ＝m 2m 1 ＝17 ，A 正确．根据 v＝ωr，得 v1v 2 ＝r 1r 2 ＝17 ，C 错误． 4．(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统．它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统的运转周期为 T，两星到共同圆心的距离分别为 R 1 和 R 2 ，引力常量为 G，那么下列说法正确的是(
) A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 4π2 R 1 ＋R 2 3GT 2 C．这两颗恒星的质量之比 m 1 ∶m 2 ＝R 2 ∶R 1
D．其中必有一颗恒星的质量为 4π2 R 1 R 1 ＋R 2 2GT 2 答案 BCD 解析 两星有共同的周期 T，由牛顿第二定律得 Gm 1 m 2R 1 ＋R 2 2 ＝m 14π 2T 2R 1 ＝m 2 4π2T 2R 2 ，所以两星的质量之比 m 1 ∶m 2 ＝R 2 ∶R 1 ，故 C 正确；由上式可得 m 1 ＝ 4π2 R 2 R 1 ＋R 2 2GT 2，m 2 ＝ 4π2 R 1 R 1 ＋R 2 2GT 2，m 1 ＋m 2 ＝ 4π2 R 1 ＋R 2 3GT 2，故 A 错误，B、D 正确．
一、选择题 1．如图 1 所示，“嫦娥三号”探测器经轨道Ⅰ到达 P 点后经过调整速度进入圆轨道Ⅱ，再经过调整速度变轨进入椭圆轨道Ⅲ，最后降落到月球表面上．下列说法正确的是(
)
图 1 A．“嫦娥三号”在地球上的发射速度大于 11.2 km/s
B．“嫦娥三号”由轨道Ⅰ经过 P 点进入轨道Ⅱ时要加速 C．“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上经过 P 点的速度大于在轨道Ⅱ上经过 P 点的速度 D．“嫦娥三号”稳定运行时，在轨道Ⅱ上经过 P 点的加速度与在轨道Ⅲ上经过 P 点的加速度相等 答案 D 2．(多选)北斗导航卫星的发射需要经过几次变轨，例如某次变轨，先将卫星发射至近地圆轨道 1 上，然后在 P 处变轨到椭圆轨道 2 上，最后由轨道 2 在 Q 处变轨进入圆轨道 3，轨道 1、2 相切于 P 点，轨道 2、3 相切于 Q 点，如图 2 所示．忽略空气阻力和卫星质量的变化，则以下说法正确的是(
)
图 2 A．该卫星从轨道 1 变轨到轨道 2 需要在 P 处减速 B．该卫星从轨道 1 到轨道 2 再到轨道 3，机械能逐渐减小 C．该卫星在轨道 3 的动能小于在轨道 1 的动能 D．该卫星稳定运行时，在轨道 3 上经过 Q 点的加速度等于在轨道 2 上 Q 点的加速度 答案 CD 解析 该卫星从轨道 1 到轨道 2 需要点火加速，则机械能增加；从轨道 2 再到轨道 3，又需要点火加速，机械能增加；故该卫星从轨道 1 到轨道 2 再到轨道 3，机械能逐渐增加，选项A、B 错误．根据 v＝GMr可知，该卫星在轨道 3 的速度小于在轨道 1 的速度，则卫星在轨道 3 的动能小于在轨道 1 的动能，选项 C 正确．根据 a＝ GMr 2可知，该卫星稳定运行时，在轨道 3 上经过 Q 点的加速度等于在轨道 2 上 Q 点的加速度，选项 D 正确． 3．如图 3 所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M 距地面 200 km，远地点 N 距地面 340 km.进入该轨道正常运行时，通过 M、N 点时的速率分别是 v 1 和 v 2 ，加速度大小分别为 a 1 和 a 2 .当某次飞船通过 N 点时，地面指挥部发出指令，启动飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面 340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为 v 3 ，加速度大小为 a 3 ，比较飞船在 M、N、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率和加速度大小，下列结论正确的是(
)
图 3 A．v 1 ＞v 3 ＞v 2 ，a 1 ＞a 3 ＞a 2
B．v 1 ＞v 2 ＞v 3 ，a 1 ＞a 2 ＝a 3
C．v 1 ＞v 2 ＝v 3 ，a 1 ＞a 2 ＞a 3
D．v 1 ＞v 3 ＞v 2 ，a 1 ＞a 2 ＝a 3
答案 D 解析 根据万有引力提供向心力，即 GMmr 2＝ma 得：a＝ GMr 2，由题图可知 r 1 ＜r 2 ＝r 3 ，所以 a 1＞a 2 ＝a 3 ；当某次飞船通过 N 点时，地面指挥部发出指令，启动飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面 340 km 的圆形轨道，所以 v 3 ＞v 2 ，假设飞船在半径为 r 1 的圆轨道上做匀速圆周运动，经过 M 点时的速率为 v 1 ′，根据 GMmr 2＝ mv2r得：v＝GMr，又因为r 1 ＜r 3 ，所以 v 1 ′＞v 3 ，飞船在圆轨道 M 点时需加速才能进入椭圆轨道，故 v 1 >v 1 ′，故 v 1＞v 3 ＞v 2 .故选 D. 4．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图 4 所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接．已知空间站 C 绕月轨道半径为 r，周期为 T，引力常量为 G，月球的半径为 R.那么以...
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