北师版八上数学 2.1《认识无理数》说课稿
一、说教材
1、教材的地位与作用：人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断 加深和完善的， 学生在七年级上学期有了一次 “数不够用了” 的经历， 从而使数的范围扩大 到了有理数。
本节在上一章勾股定理及有理数的基础上再一次让学生感受 “数怎么又不够用 了”从而引入新数“无理数”将数的范围扩大到实数。本节课是北师大版八年级数学第二章 实数的第一节“认识无理数” ，本节课通过各种丰富多彩的数学活动，让学生体会无理数产 生的背景， 以及无理数存在的必要性和合理性， 同时借助计算器探索无理数是无限不循环小 数，从中体会无限逼近的思想。
本节课上一章勾股定理应用的进一步深化， 同时又是实数概 念及运算的开始，起着承上启下的作用。
2 、教材的处理：立足教材，又不局限于教材，依据学情对教材进行有机整合。
二、说学情
八年级的学生已经积累了一些数学活动经验， 也经历了一次数系的扩充， 但无理数不象 有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，学生理解起来会有些困难。因此，在教学中 要通过丰富多彩的数学活动，逐步渗透和加强。
三、说教学目标 根据对教材和学情的分析，及《数学课程标准》知识与技能、过程与方法、情感与态度 等方面对该部分的要求，确定本节课的教学目标如下：
1、让学生亲自动手做拼图活动以及勾股定理的应用，让学生感受无理数产生的实际背 景，以及无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神 .
2、经历探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别的过程，会判断一个数是有理 数还是无理数 ..
3、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想 .
4、通过了解有关无理数发现的历史，培养他们为真理而奋斗的献身精神。
5、理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。
6、充分调动学生的积极性，培养他们的勇于探索、独立思考以及合作精神，提高他们 的辨识能力以及有条理的表达能力 .
四、说教学重、难点
教学重点 ：1、让学生经历无理数发现的过程 .感知生活中确实存在着不同于有理数的数
2、无理数概念的探索过程
3、会判断一个数是否为无理数 .
教学难点 ： 1、把两个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程 .
2、用计算器进行无理数的估算。
3、 判断一个数是否为无理数 .
难点成因诊断及突破策略： 把两个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形需要学生创造性 思维， 一些学生可能有些困难， 在教学中可以多给学生交流和展示的时空， 让学生感受数学 的奇妙。用计算器进行无理数的估算，这种方法学生以前没有接触过， 所以有些困难， 需要 教师适当引导。另外，无理数的概念比较抽象，不象有理数那样，直观易懂，学生理解起来 会有些困难，需要教师在教学中不断渗透，和反复训练。
五、说策略与方法 学数学不能只是模仿和记忆，需要学生动手做一制、算一算，与别人议一议，本节课以 活动为主线， 通过丰富多彩的数学活动， 以及各种问题串的形式让学生经历无理数的发现过 程，体会理数存在的必要性和合理性， 同时经历无理数概念的生成过程。
教师在教学中注重 引导，引导学生对新知识领悟和生成。
另外利用多媒体辅助教学， 让数学课堂变得有声有色。
六、说教具准备
让学生准备两个边长为 1 的正方形，一把剪刀还有一个计算器。
七、说教学过程
一、情境导入
师：同学们 ,你们上了好多年的学 ,学过不计其数的数 ,概括起来你们都学过哪些数呢 ? 生：在小学我们学过自然数、小数、分数 .
生：在初一我们还学过负数 . 师：对，我们在小学学了非负数，在七年级发现数不够用了，引入了负数，即把从小学 学过的正数、 零扩充到有理数范围， 有理数包括整数和分数， 那么有理数范围是否就能满足 我们实际生活的需要呢？有没有一类数既不是整数也不是分数呢？下面我们就来共同研究 这个问题 .
【设计意图】 通过对数的回忆一方面复习有理数的有关概念， 为后面的学习提供知识上 的储备， 另一方面让学生体会到人类对数的认识是在生产、 生活和数学自身矛盾的发展中不 断加深和完善的，为数系的再扩充提供依据。
二、探究新知
（一）概念的引入
活动探究一 . 剪一剪拼一拼想一想
问题提出： 有两个边为 1 的小正方形， 如何通过剪一剪拼一拼， 得到一个大的正方形？
动手操作： 请同学们利用我们课前准备好的两个边长为 1 的正方形和剪刀，亲自动手 剪一剪，拼一拼，看谁先得到一个大正方形。
小组交流和展示： 有几种不同的方法得到打正方形？让学生分别展示。
如果学生展示的 不全，教师用多媒体进行补充展示。
思考与交流：
（ 1）拼成的大正方形面积是多少？
（ 2）你能求出大正方形的边长吗？如果设大正方形的边长为 a ，则 a满足什么条件？
（3） a可能是整数吗？如果不是它介于那两个整数之间？为什么？
（4） a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。
（5） a是有理数吗？说说你的理由，并与同伴交流。
效果预测及难点突破策略 ：对于问题（ 1）学生不难得出结论，对于问题（ 2）学生也
2
容易得出 a 满足的条件 a =2 但大正方形的边长却求不出来，从而引发学生思维冲突。对于
2 2 2
问题（ 3） a显然不是整数， 通过计算 1 1，2 4而 a =2 显然 1< a <2，很容易得到 a 介 于 1 和 2 之间。问题（ 4）是个难点，学生不能确定 a 不是分数，但是又找不出一个分数使 它的平方为 2，对于这个问题教师可以适当引导，指出所有分数的平方一定都是分数，从而 确定 a不是一个分数。解决了前面四个问题， 最后一个问题就水到渠成了， a 既不是整数也 不是分数当然不会是有理数了， 这个问题可以放给中下游的学生回答， 进一步明确有理数的 概念。
活动探究二 a 究竟有多大
接下来师生一起利用计算器探究这个神秘的数 a 究竟有多大
从活动一可知 1< a <2，也就是说 a的整数部分是 1，即 a =1. ?再进一步研究 a的范围， 它的十分位数是几？百分位是几？千分位呢？借助计算器探索。
1、由于 1.42=1.96 1.52=2.25 1.42< a2<1.52 所以 1.4< a <1.5，大家想一想 a的十
分位是几？
2
继续探索， 1.412=1.9881 1.422=2.0164 1.412< a <1.422 所以 1.41< a <1.42 那么 a
的百分位是几？
2、利用上面的方法， 请同学们自己有计算器探索 a 的千分位、 万分位和十万分位分别是 多少？
3、还可以继续探索下去吗？随着数位的增多，我们探索的数与真正的数 a 有怎样的关
系？（引导学生体会无限逼近，却不相等的数学思想）
引导学生得出 a 是4、从我们探究的结果看数
引导学生得出 a 是
个无限不循环的小数，可利用多媒体展示 a =1.414213562373095048801688724209 数位
越多越好，让学生真切直观地感受到无限不循环小数的意义）
（二）概念的生成
探究活动三
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
4 5 8 2
5 9 45 11
学生板演结果， 并引导学生观察， 最后得出结论： 有理数总可以用有限小数或无限循化 小数表示， 反过来任何有限小数和无限循环小数也都是有理数 （教学中还可以让学生随意说 出任意一个数进行验证） 。
那么，像我们上面探究的那个神秘的无限不循环的小数 a 又是什么数呢？
引出无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
同学们，无理数来自实践，无理数并不“无理” ，也不是人们臆想出来的，它是实实在 在存在的， 这样的数，在我们周围的生活中， 不是只有少数几个， 而是像有理数一样有无限 个。同学们请看下面的例子。
探究活动四 （利用多媒体出示以下问题，给学生 10 分钟时间思考与交流的时间）
（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（ 2）设该正方形的边长为 b，则 b 应满足什么条件？
（3） b 是有理数吗？为什么？
（4）请估计一下边长 b 的值（结果精确到十分位） ，并用计算器验证你的估计。
（5）结果精确到，百分位、千分位、万分位呢？它是一个无理数吗？为什么？
（6）你能设计一个图形，使其某一边的边长是一个无限不循环小数即无理数吗？
设计意图及效果预测： 勾股定理学生不陌生， 又有了前面活动的经验， 因此前五个问题 学生不难回答。
问题（6）是在教材基础上加入的一个新问题， 问题（ 6）是一个开放性问题， 通过学生的尝试、 思考、 判断不仅让学生体会到了这类新数存在的合理性和必然性， 还有助 于培养学生的创新思维，是这节课的一个亮点。但由于（ 6）对学生的思维要求较高，一部
分学生可能有些困难， 所以要给学生充分的思考交流的空间， 同时让学生学会有条理的表达 自己的思想和观点，必要时引导学生，像一些直角三角形的边长，面积为 3、5、6 等的正方
形的边长，体积为 2、3、 4、5 等的正方体的棱长都是无理数等等。
师总结 ：无理数的发现是数学史上的一个大的进步， 但无理数不象有理数那样， 直观易 懂，总有一种虚幻的感觉， 让人感到迷惑， 其实当初发现这一问题的时候数学家们也很迷惑 甚至惶恐， 甚至有人为此献出了宝贵的生命， 大家想知道怎么回事吗？请看下面的一个悲剧 的数学史话。
（设计意图：总结梳理，同时承上启下。
）
数学家希伯索斯的悲剧人生 （利用多媒体呈现数学史话） 早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数” ，即“宇宙间的一切现象都能 归结为整数或整数之比（分数） ”，也就是一切现象都可用有理数去描述 .后来，这个学派中
的一个叫希伯索斯的成员发现边长为 1 的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表 示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条， 引起了信徒们的惶恐， 为此希伯索斯被投进了 大海。
他为真理而献出了宝贵的生命， 但真理是不可战胜的， 后来古希腊人终于正视了希伯 索斯的发现 .也就是我们前面谈过的 a2=2 中的 a 不是有理数 .并进一步给出了证明。
该环节通过了解无理数产生的历史背景， 进一步理解无理数存在的合理性和必然性， 也 让学生体会真理是不可战胜的，要有为真理而献身的勇气。
（三）概念的辨析 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
4 ? ?
－ ， 0.57，0.1010010001?（相邻两个 1之间 0 的个数逐次加 1），圆周率 π ，3.14，0
3
设计意图及效果预测： 到这里， 学生虽然知道了什么是无理数， 但对无理数的概念的认 识模糊的， 需要进一步在习题中甄别和强化。
例题中肯定有一部分学生会出错， 比如圆周率 π和 3.14 以及 0 等学生极易错判，出了错师生要一起分析讨论和纠正。最终要让学生明白 以下几点：
（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数 .
（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能 .
（3）圆周率 π 是也是个无限不循环小数，因此它是个无理数，但 3.14 是个有限的小数是
圆周率 π的近似值，它是个有理数，要注意它们的区别。
（四）概念的深化
下图是由 16个边长为 1 的小正方形拼成的， 任意连结这些小正方形的若干个顶点， 可得 到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段
设计意图以及效果预测 ： 这是一道开放性的动手操作题，学生在尝试、思考、判断的 过程中会对有理数和物理书的概念有个梳理和再认识， 深化了概念， 同时开放性习题因其答 案的不确定性以及挑战性很受学生喜欢， 教师应鼓励学生大胆尝试， 这个问题会把课堂再次 推向高潮 。
（五）巩固练习
1、如图，正三角形 ABC 的边长为 2，高为 h， h 可能是整数吗？可能是分数吗？它是 有理数吗？它是无理数吗？试用计算器算出他的近似值结果精确到千分位。
2、长宽分别是 3、2的长方形， 它的对角线是无理数吗？为什么？试用计算器算出他的 近似值结果精确到万分位。
设计意图 ：能正确判断一个数是否为无理数， 是本节的重点也是难点需要反复训练， 同 时也让学生进一步感知无理数存在的实际背景以及引入的必要性。
（六） 课堂小结
让学生谈本节课的收获与感悟， 教师要引导学生梳理本节重要的知识和方法， 以及活动 过程中体现的无限逼近的数学思想 。
课例评析：
本节课的教学设计有以下几个鲜明特点
1、以活动为主线 ，让学生在做中学。
《课程标准》特别指出数学教学是数学活动的教学，学生要在老师的指导下积极主动的 掌握数学知识技能，发展能力。本节课以活动为主线，让学生在做中学。比如，课堂首先通 过拼图游戏，得到一个数 a ，通过探究发现数 a 既不是整数也不是分数， 那么它又是怎样的 数呢？引发学生思维冲突， 这一活动不仅为无理数概念的提出， 设置了鲜活的生活背景， 同 时也为下一个探究活动“ a究竟有多大” ，埋下了伏笔，使课堂流畅自然。活动三是在前面 两个活动的基础上探究无理数的概念， 活动四则是无理数概念的巩固和应用。
整个活动过程， 学生都是在教师引导下经历操作、探究、思考、讨论等过程，体现了以活动为中心，注重让 学生在做中学的教学思路。
2、层层递进、环环相扣，体现了数学概念的形成与应用过程。
这是一节概念教学课，本节课的设计遵循“概念的提出——概念的生成——概念的辨析 ——概念的深化与应用” 的教学模式，且各环节环环相扣、层层深入， 使学生对概念有了一 个清晰、全面、完整的认识，同时也可以培养学生良好的思维习惯和用数学的意识。
3、内容的呈现体现了层次性、趣味性、开放性、挑战性。
课堂的每一环节都提供了丰富的、有趣的、具有挑战性的活动情境，引导学生观察、思 考、辨别、总结、归纳、猜想等，经历了数学概念的生成过程，也提升了学生的数学思维。
比如活动一的拼图， 活动二的探究， 相对于八年级的学生来说都具有趣味性和挑战性。
本节 课每一个探究活动又都是以问题串的形式，由易到难，层层递进， 充分体现了层次性、 开放 性与挑战性，让学生深入其中，欲罢不能。
4、教材处理得当，立足教材，又不局限于教材，体现了创新的理念。
比如探究活动四在教材提出的三个问题后，有提出了三个问题，其中问题（ 4）和（ 5）
是对探究活动二的巩固和深化， 问题（ 6）设计一个开放性的题目， 通过对这个问题的探索， 学生会对无理数产生的背景的广泛性有一个更深的认识， 同时也培养了学生的创性思维。
纵 观本节课的设计，很多地方都体现了创新性的理念。
5、强化了知识间的内在联系。
人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，本节课立 足学生已有的知识背景（有理数）和活动经验，通过丰富多彩的活动， 让学生经历了从有理 数到无理数的数系扩充过程。
无理数概念比较抽象， 学生不易理解， 教师在课堂设计的时候 让学生充分体会了无理数与整数、 分数及有理数概念的内在联系。
其中概念辨析环节又对学 生易错、易混淆的地方进行了辨析和强化，起到了很好的效果。
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