“基本不等式： ab a b（第一课时）”说课
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一、教材分析
⒈教材的地位和作用
“ 基本不等式： ab a b”是高中课本必修 5 第三章《不等式》
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的最后一节，其主要内容是：两个不等式“如果
a R, b R ，那么
a 2
b2
2ab ”和“如果 a 0, b 0 ，那么 ab
a
b ”的推导和应用。
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在此之前，学生已经学习了不等式的基本性质， 同时也接触过“作差比较”等一些证明不等式的基本方法。在这个基础上，教材在第三章的最后安排了这一节。
学生在经历过对不等式基本性质的探究过程后，在这一节，学生将更进一步感受到日常生活中存在的大量的不等关系，基本不等式是比较大小、处理最优化问题的重要的数学工具，利用这个工具， 学生将进一步积累解决问题的经验和方法， 形成解决问题的一些基本策略，提高应用数学的意识和解决实际问题的能力。⒉教材的重点和难点
因为是第一课时，我认为本节课的教学重点是对两个不等式的
推导、理解和不等式的初步应用。课本对不等式的推导采用了“作差
比较法”，“作差比较法”是证明不等式的基本方法，所以应当作为教
学的重点。
这两个不等式之间既有联系又有区别，学生容易混淆和忽略，所
以两个不等式“成立的前提条件不同和等号成立的条件相同” ，也是教学的重点。
如何通过对这两个不等式的变形、拓展，学生能更深入地理解不
等式的结构，并能初步地应用它解决一些实际问题， 为下一个课时“利用基本不等式求最优解的学习”作好铺垫，这是教学的难点。
二、教学目的分析
根据以上分析，我确定本节课的教学目的如下：
1、知识目标：
了解不等式的证明过程和方法；理解不等式的几何意义；初步利用两个不等式解决问题，熟悉其变形式。
2、能力目标：
通过探究结果的汇报以及讨论活动，提高学生语言表达能力；在对不等式的证明过程中培养学生发现、比较、论证、转化等分析问题和解决问题的能力；
通过掌握不等式的结构特点和运用不等式的适当变形，培养学生的形象思维能力、类比能力和创新精神。
3、情感目标
在教学中，逐步学会自觉地用发展变化的观点认识自然科学，会欣赏“数学美”。通过联系生产、生活等实际，激发学习数学的兴趣，培养探究精神， 养成关心科学技术的发展， 关心社会生活的意识和生命科学价值观。
学生通过自己的努力获得知识， 培养克服困难的毅力和决心，增强学习数学的信心。
三、教学方法和教学手段的选用
根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的主要是探究式、计算机辅助教学、小组讨论汇报、开放式等教学方法。
在教学中，我采用探究式教学，引导学生发现不等关系，探讨推
导的思路并完成推导过程，培养学生发现问题、解决问题的能力等。
利用计算机辅助教学， 让学生通过平面几何的知识感性理解不等式，使之顺利找到不等式的几何解释。
通过小组讨论汇报的方式，让学生在活跃的气氛中，主动学习，尝试用所学解决实际问题。
通过开放式问题的设置，让学生更深入地从理解不等式的结构，
同时切实地发挥学生的创造力。
四、教学过程
1、创设情境，导入新课
情境教学讲究强调学生的积极性，强调兴趣的培养，以形成主动发展的动因，提倡让学生通过观察，不断积累丰富的感性认识，让学生在实践感受中逐步认知，发展，乃至创造。
【引例】 一块正方形蛋糕沿垂直于边的方向切两刀，有两个选择：
①取两块深色的
②取两块浅色的，
孔融会选第几个方案？
本节课依托家喻户晓的历史故事， 重新改造加工，由古代的“孔
融让梨” 变成现代的“孔融让蛋糕”，合理创设了情境，引起学生
浓厚的兴趣，学生自然而然的发现不等式“ a 2 b2 2ab ”， 并直接
进入学习状态。在教学同时宣扬了中华美德，不知不觉中还进行了
德育教育。掀起上课的第一次高潮。
2、类比猜想，探究新知
对教学内容的处理手法应处处结合学生的实际情况， 这两个不等
式的证明对于学生来讲难度并不是很大， 所以可以由学生自己讨论完成，老师只是着重指出强调证明方法“作差比较法” 。对于两个不等式的几何意义让学生自己发现难度太大， 造成学生的负担， 所以选择制作成课件介绍给学生。
(1) 、借助几何画板的演示，由“蛋糕”变化出“弦 图”，紧扣
课本，在介绍不等式的几何意义的同时又抓住时机介绍 “国际数学家
大会”和“菲尔茨”奖、 “丘成桐教授”等数学背景，激发学生的民
族自豪感。
（2）、通过替换变量的练习，学生得到基本不等式，并自己完成
其证明过程。依靠几何画板，适当点拨，让学生上讲台亲自演示基本
不等式几何意义：圆半径不小于半弦。
（ 3）、通过提问的方式比较重要不等式和基本不等式的异同， 强
调使用的前提和等号成立的条件，以及定理“和》积”的基本形式，
起“画龙点睛”的作用，突出本节课的重点。
3、应用实践，拓展延伸
主体知识介绍完后，我准备了三道练习来巩固升华本节课的知识：
练习1，用 、、、填空。
这道练习难度较小，目的是运用基本不等式比较大小。
练习 2：汽油价格随国际油价的变化经常调整，上个月的 1 号和 15 号汽油的单价分别是 a 元 / 升和 b 元/ 升。甲乙两人这两天都为汽车加油， 甲每次加 20 升，乙每次加 200 元，
（1）求甲两次加油平均每升汽油花费多少元？乙两次加油平均每升汽油花费多
少元？
（2）两人的付费方式谁更合算？
教师与学生的讨论，学生与学生的讨论是学生参与数学教学过
程，主动探索知识的一种行之有效的方法。
新课程标准要求教学要依照教学目标组织学生充分讨论， 并以积极的心态互相评价、 相互反馈、互相激励，只有这样才能有利于发挥集体智慧，开展合作学习，从而
获得好的教学效果。
我认为新课程标准下教师高超的教学艺术之一就在于调动学生的积极情感，使之由客体变为主体，使之积极地、目的明确地、主动热情地参与到教学活动中来。
所以，这道习题我采取了小组讨论汇报的形式让学生利用刚学的知识解决生活中的实际问题， 老师只是提供外在诱因， 激发学生的兴趣。将学习的主动权彻底归还学生，学生在自主探索、合作交流中探
究规律，验证猜想。他们各抒已见， 互相议论，互相提示，互相补充，互相修正，最后得出结论。让他们亲身经历性质的形成过程，既突出
了教学重点，又体现了 “在参与中体验，在活动中发展 ”的全新理念。学生学会观察、研究生活中的数学，提高动手能力，更好地掌握方法要领，并切切实实地产生“生活中处处有数学、生活中处处用数学”的感受。
练习 3：你能替换“如果 a
0, b 0 ，那么 ab
a b ”中的 a、b，得到更
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多有趣的不等式吗？
学生通过自主活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解更
透彻、更快捷。这是设置这道开放式练习的初衷，也是大胆的尝试。
以开放的形式让学生上黑板写下自己发现的不等式， 在构造不等式的
过程中，学生自然能更深刻理解不等式的结构， 更重要的是学生有机
会做一回“发明家” ，不仅活跃了课堂气氛，而且切实地发挥学生的
创造力，获得更多的数学体验，增强学生的创新意识。
五、教学评价的分析
在学习不等式定理时， 学生最容易出现的学习障碍就是乱用定
理，尤其是忽略定理使用的条件。两个不等式“成立的前提条件和
等号成立的条件”应当时刻注意提醒学生。课堂上，老师可以通过
巡堂，或提问等方式来发现学生的错误，并及时纠正学生的错误。
老师课堂上除反复强调以上知识点外，还应通过课堂练习和课后作
业强化它们。我准备了作业题： 已知 >0，证明 ： x
1
。
最后，
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x
让学生交流这节课有什么收获？有哪些体会？这有两个目的：一是
进一步引导学生反思自己的学习方式；二也是为了激起学生感受成
功的喜悦，力争用成功蕴育成功，用自信蕴育自信，激励学生以更
大的热情投入下一节课的学习。
总之，整节课，我是想在平等的师生关系下，创设和谐的课堂
教学氛围。让学生感觉到：课伊始，趣已生；课继续，情更浓；课
已尽，意犹存，让数学课堂真正焕发出生命的活力！
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