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点C在圆内; 点B在圆上; 点
点C在圆内; 点B在圆上; 点A在圆外;
无交点； 有一个交点; 有两个交点;
初中圆复习
一、圆的概念 集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2
3
轨迹形式的概念：
、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
1、 圆：至V定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、 垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 （也叫中垂线）；
、角的平分线：至V角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两 条直线；
、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等 的一条直线。
二、 点与圆的位置关系
TOC \o "1-5" \h \z 1、 点在圆内 d r
2、 点在圆上 d r
3、 点在圆外 d r
三、 直线与圆的位置关系
1、 直线与圆相离 d r
2、 直线与圆相切 d r
3、 直线与圆相交 d r
外离（图1） 无交点 d R r；
TOC \o "1-5" \h \z 外切（图2） 有一个交点 d R r ;
相交（图3） 有两个交点 R r d R
内切（图4） 有一个交点 d R r ;
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可
④弧BC弧BD ⑤推出其它3个结论，即： ①AB
④弧BC弧BD ⑤
弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在O O 中AB // CD
弧 AC 弧 BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的 弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：① AOB DOE :② AB DE ;
③OC OF ;④弧BA弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：： AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
? AOB 2 ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 周角所对的弧是等弧；
即:在。O中， C、 D都是所对的圆周角
? C D
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直 角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即:在O O中AB是直径 或t C 90
? C 90 ? AB是直径
相等的圆ACDCO推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形。
相等的圆
A
C
D
C
O
即：在厶ABC中OC OA OB
△ ABC是直角三角形或 C 90
注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角
即：在。O中，四边ABCD是内接四边形
CA C BAD 180 B D 180 DAE C
C
A
九、切线的性质与判定定理
1、 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即： MN OA且MN过半径0A外端
MN是O 0的切线
2、 性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
BD即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个 十、切线长定理
B
D
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长
相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即： PA、PB是的两条切线
PA PB; P0 平分 BPA
1 ^一、圆幕定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在。0中，弦AB、CD相交于点P，
PA PB PC PD
A推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 所成的两条线段的比例中项。
A
即：在O 0中，直径AB CD，
CE2 AE BE
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项。
即：在。O中， PA
即：在。O中， PA是切线，PB是割线
3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。
即:在。O中PB、PE是割线
PC PB PD PE
E十二、两圆公共弦定理
E
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦 如图：O1O2垂直平分AB。
即: v? Oi、O O2相交于A、B两点
二O1O2垂直平分AB
十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
公切线长：Rt OQ2C 中，AB2 CO； ,O1O22 CO22；
ACO1O2 外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 十四、圆内正多边形的计算
A
C
O1
O2
(1)正三角形
在? O中厶ABC是正三角形，有关计算在 Rt BOD中进行：OD:BD:OB 1>..3:2；
C
O
D
O
B
OE
OE : AE : OA 1:1: .2 :
AB: OB : OA 1:32.
正四边形
同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行,
正六边形
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式同理，六边形的有关计算在 Rt OAB中进行,
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：（1）弧长公式：l
> n巳
180
（2）扇形面积公式：
n R2 1
S ir
360 2
n：圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 I :扇形弧长 S :扇形面积
2、圆柱:
（1） 圆柱侧面展开图
S表 S侧 2S底=2 rh 2 r $
（2） 圆柱的体积：V r2h
3、圆锥侧面展开图
（1） S表 S? S底 = Rr r2
（2） 圆锥的体积：V - r2h
3
十六、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
b c（2） ^ABC中，/ C=90° , AC=b BC=a AB=C 则内切圆的半径 r=—
b c
1
（3） SsBC^rg b c），其中a, b, c是边长，r是内切圆的半径。
⑷弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦 如图，BC切O O于点B, AB为弦，/ ABC叫弦切角，/ ABCM Db
练习题
若OO的半径为4cm,点A到圆心0的距离为3cm那么点A与OO的位置关系是（）
A.点A在圆内 B .点A在圆上 c .点A在圆外 D .不能确定
已知O O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是
如图，MN是半径为1的O O的直径，点 A在O O上，/ AMN30° , B为AN弧的中点，点 P是直径 MN上 一个动点，则求PA+PB勺最小值
4如图2,已知BD是O O的直径，O O的弦AC丄BD于点E,若/ AOD=60，则/ DBC的度数为
TOC \o "1-5" \h \z 与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是 .
已知直角三角形的两直角边长分别为 5和12,则它的外接圆半径 R= ，内切圆半径r= .
7.O O的半径为6, O O的一条弦AB为6 .3，以3为半径的同心圆与直线 AB的位置关系是 .
8 PA PB是O O的切线，切点是 A、B,Z APE=50°,过A作O O直径AC连接CB则/ PBC
9.如图4, AB是OO的直径，弦 AC BD相交于P,贝U CD： AB等于
A. sin BPC B. cos BPC C. tan BPC D. cot BPC
图4
图4 图5
11?圆的最大的弦长为12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d,那么A. d
11?圆的最大的弦长为
12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为
d,那么
A. d<6 cm
B. 6 cm<d<12 cm
C. d>6 cm
D. d>12 cm
12.如图6，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦
AB是小圆的切线,
P为切点，设AB=12，则两圆构成
10.如图5，点P为弦AB上一点，连结 OP过PC作 PCLOP PC交O O于C若AP=4, PB=2,则PC的长
是
D. 3A. ,2 B.
D. 3
圆环面积为
图6图
图6
图7
如图 7, PE是OO的切线，E为切点，PAB PCD是割线，AB=35, Ct=50, AC： DE=1 : 2,贝U PA=
如图8, AB是O O的直径，点 D在AB的延长线上，且 BD=OB点C在O O上，/ CA咅30。，求证： DC是O O的切线.
D/
D
/
如图，AB既是O C的切线也是O D的切线，O C与O D相外切，O C 的半径r=2 , O D的半径R=6求四边形 ABCD的面积。
如图10, BC是O O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线 DE平分AC于 E,求证:
图10（1） AC是O O的切线.（2）若 AD： DB=3 : 2, AC=15，求O O的直径.（12 分）
图10
17.如图11, AB是OO的直径，点 P在BA的延长线上，弦 CDLAB垂足为E,且PC=PE?PO (1)求证:
PC是O O的切线；(2)若 OE： EA=1 : 2， PA=6,求O O的半径；(3)求 sin PCA的值.(12 分)
图11
18.如图，O O的两条割线 AB AC分别交圆 O于 D B、E C,弦DF//AC交BC于C
求证：AC FG BC CG ;
若CF= AE
若CF= AE求证：△ ABC为等腰三角形.
B
B
19.如图，AB是OO的直径，弦 CD± AB与点E,点P在O O上，/ 仁/ C,
求证：CB// PD
3
若 BC=3 sinP=，求O O的直径。
5
20.如图，△ ABC内接于OO AB是O O的直径，PA是过A点的直线，/ PAC=/ B.
(l )求证：PA是O O的切线；
(2)如果弦CD交AB于E, CD勺延长线交
PA于 F, AC= 8, CE ED= 6： 5, AE EB= 2： 3,
求AB的长和/ ECB勺正切值.
21.如图，在Rt△ ABC中, / B= 90°, / A的平分线交 BC于点D, E为AB上的一点，DE= DC以D为圆心,
DB长为半径作O D,
求证：(I ) AC是 O D的切线;
(2) AB+ EB= AC
22.如图，AB是OO的直径，以0A为直径的O 0,;与0 0的弦AC相交于D DEL 0C垂足为E.
(I )求证：AD= DC
求证：DE是O 0i的切线；
考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决之间的区别和联系?运用圆与角(圆心角，圆周角)，弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例1】 已知：如图所示，在△ ABC中，/ A0B=90，/ B=25，以0为圆心, 径的圆交
考点一：与圆相关概念的应用
利用与圆相关的概念来解决
之间的区别和联系?
运用圆与角(圆心角，圆周角)，弦，弦心距，弧之间的关系进行解题
【例1】 已知：如图所示，在△ ABC中，/ A0B=90，/ B=25，以0为圆心, 径的圆交AB于D,求弧AD的度数.
【例2】如图，A、B C是O 0上的三点，/ A0C=100，则/ ABC的度数为(
A . 30 ° B . 45 ° C . 50 °
60°
利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系
【例3】 已知O 0的半径为3cm, A为线段0M的中点，当0A满足：
(1 )当0A=1cmi时，点 M与O 0的位置关系是
0A长为
).
D .
当0A=1.5cm时，点 M与O 0的位置关系是 .
当0A=3cm寸，点 M与O 0的位置关系是 .
【例4】O 0的半径为4，圆心0到直线I的距离为3,则直线l与O 0的位置关系是( )
A .相交
B .相切
C ?相离 D .无法确定
【例5】 两圆的半径分别为 3cm和4cm,圆心距为2cm,那么两圆的位置关系是
正多边形和圆的有关计算
【例6】 已知正六边形的周长为 72cm,求正六边形的半径，边心距和面积
运用弧长及扇形面积公式进行有关计算
【例7】 如图，矩形ABCD中, BC=2 DC=4,以AB为直径的半圆 0与DC相切于点
E,则阴影部分的面积为 （结果保留二）.
运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算
【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比 是
考点二：圆中计算与证明的常见类型
利用垂径定理解题
垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、 直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算
【例1】 在O 0中，弦CD与直径AB相交于点P,夹角为30°,且分直径为1 : 5两部分，AB=6,则弦CD 的长为 .
A . 2、'、 B . 4C . 4 莎 7 D . 2 卜' 人
利用“直径所对的圆周角是直角”解题
“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常 添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理
【例2】 如图，在O 0的内接△ ABC中，CD是 AB边上的高，求证：/ ACD=Z OCB.
利用圆内接四边形的对角关系解题
圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四 点共圆的方法?
【例3】 如图，四边形 ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若/ C= 45 AB=农，则点B到AE的距离为 .
判断圆的切线的方法及应用
判断圆的切线的方法有三种:
(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；
若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；
经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【例4】 如图，O O的直径AB=4,/ ABC=30 , BC=4j3 , D是线段BC的中点.
(1)试判断点D与OO的位置关系，并说明理由.
(2)过点D作DE± AC,垂足为点 E,求证：直线 DE是O O的切线.
P在CB的延长线上，且
P在CB的延长线上，且
【例5】 如图，已知 O为正方形ABCD寸角线上一点，以 O为圆心，OA的长为半径的O O与BC相切于M
与AB AD分别相交于 E、F,求证CD与O O相切.
【例6】 如图，半圆OABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧丁上一动点, 有/ BAP=Z BDA.求证：AP是半圆O的切线.
【课堂巩固练习】
一.选择题：
O O的半径为R,点P到圆心O的距离为d，并且d> R,则P点 [
A. 在O O内或圆周上 B. 在O O外
C. 在圆周上 D. 在O O外或圆周上
由一已知点P到圆上各点的最大距离为 5,最小距离为1,则圆的半径为[
A、2 或 3 B 、3 C 、4 D 、2 或 4
如图，O O中，ABDC是圆内接四边形，/ BOC=110 ,则/ BDC勺度数是[ ]
D
A.110 ° B.70 ° C.55 ° D.125 °
4.在O O中，弦AB垂直并且平分一条半径，则劣弧 AB的度数等于] ]
A.30 ° B.120 ° C.150 ° D.60 °
直线a上有一点到圆心 0的距离等于O O的半径，则直线a与O O的位置关系是［ ］
A、相离E、相切 C、相切或相交 D、相交6、如图，PA切O 0于A,PC
A、相离
E、相切 C、相切或相交 D、相交
6、如图，PA切O 0于A,PC交O 0于点E、C
，若 PA= 5, PB= BC,则PC的长是［ ］
A、10 E、5 C、5.2 D、5 . 3
7?如图，某城市公园的雕塑是由 3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面
A
C
上，则雕塑的最高点到地面的距离为［
A. — B. — C. °」
2 2 2 2
8已知两圆的圆心距是 9,两圆的半径是方程 2x2— 17x+35=0的两根, 两圆有［ ］条切线。
A、1条 B 、2条C、3条D、4条
9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于
20cm,则梯形的腰长为］
A>10cm B>12cm C>14cm
D>16cm
10、如图，O O和O Q相交于A、B两点，且 A 01、
A O2分别是两圆的切线,
A是切点，若O O的半径r=3 ,
O Q的半径R=4,则公共弦 AB的长为［ ］
A、2 B 、4.8 C 、3 D、2.4
11、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是1cm,水面宽也是
11、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是
1cm,水面宽也是1cm,则截面有水部
分（弓形）的面积是］
H 3
n
5K, JT
& 」
A、阳 刁"B 、
C、
6 2
D、界
T
或
H +兀
二.填空题：
12.6cm长的一条弦所对的圆周角为 90°
，则此圆的直径为
。
中，AB是直径，弦CD与 AB相交于点E,若
，则CE=DE（只需填一个适合的条件）
14.在圆内接四边形 ABCD中，/ A： / B：/ C=5： 2 : 1，则/ D= 15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 16.如图，圆内接四边形 ABCD勺对角线AC BD交于E点，AB=120°,
/ AEB= 。
17.已知两个圆的半径分别为 8 cm和3 cm,两个圆的圆心距为 7 cm,
圆的外公切线长为
18.如图，OO中，弦 AB丄弦 CD于 E, OF丄AB于 F, OGLCD于 G,若 AE=8cm EB=4cm 贝H OG= cm 。
r19.已知圆锥的母线长为 5厘米，底面半径为3厘米，则它的侧面积为 四.解答题
r
20.如图在△ ABC中，/ C=90°,点O为AB上一点，以O为圆心的半圆切 AC于E,交AB于D, AC=12, BC=9,
21.如图在O O中，C为ACB的中点，CD
21.如图在O O中，C为ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于点P,又PE!CB于E,若BC=1Q且CE： EB=3： 2, 求 AB的长.
22.已知：如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作 交半圆于点K,
求证：AE2 EB EK
AGL EF交EF于G 又B为AG上一点，EB的延长线
23.已知：如图，△ ABC内接于O O, AE是O 0的直径，。。是厶ABC中AB边上的高,
求证：AC- BC=AE- CD
CE
C
E
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