万三中高 2 015 级中
秋节数学试题
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万三中高 2015 级中秋节数学试题
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四
个备选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二测直观图中对应的两条线段 ( )．
A ．平行且相等 B．平行不相等
C．相等不平行 D．既不平行也不相等
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图
( )
3. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A 3 :1 B 3 : 2 C 2 : 3 D 3 : 3
4．如图，一个正方形在直角坐标系中点 B 的坐标为 (2,2) ，则在用斜二测
画法得到的图形中，顶点 B′到 x′轴的距离为 ( )．
1
2
A. 2
B. 2
C．1
D. 2
5．一个几何体的三视图及其尺寸如图
(单位： cm)，则该几何体的
表面积为 ()．
A ． 12π B ．18π
C ． 24πD ． 36π
6．已知圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是 6π，则这个圆台的体积是 (
)．
A. 2 3 3π B． 2 3
C.7 6 3π D. 7 3 3π
7. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为
（
）
2
A.
3
R 3
B. 3
R 3
C.
5
R 3
24
8
24
D.
5
R 3
8
8．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的
三部分的体积的比是 （ ）
A 1： 2： 3 B 1： 7： 19 C 3：4：5 D 1：9：27
9．已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB ＝3， BC＝ 2，则棱锥 O－
ABCD 的体积为 ( )
A. 51 B． 3 51 C． 2 51 D ． 6 51
10.如图，正方体 ABCD － A′ B′C′ D′的棱长为 4，动点 E，F 在棱
AB 上，且 EF＝ 2，动点 Q 在棱 D′ C′上，则三棱锥 A′－ EFQ 的体
积( )
A ．与点 E， F 位置有关
B．与点 Q 位置有关
C．与点 E， F ， Q 位置都有关
D．与点 E， F ，Q 位置均无关，是定值
二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）
11．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高 ( 两底面之间
的距离 )和底面边长分别是 ______和 _______．
12．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图
如 图 所 示 ， 则 搭 成 该 几 何 体 需 要 的 小 正 方 体 的 块 数 是
________．
13．如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥
P— ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是 _______．
14．把由曲线 y＝ |x|和 y＝ 2 围成的图形绕 x 轴旋转
360 °，所得旋转体的体积为 ________．
3
A 1— BCC 1B1 与圆柱的体积比．
如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2 的等腰三角形 ,侧视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积是
三、解答题（共 75 分）
16. （如图）在底半径为 2 ，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱，求
圆柱的表面积。
17．如图组合体中，三棱柱面， C 是圆柱底面圆周上不与中点时，求四棱锥
ABC — A 1B 1C1 的侧面 ABB 1A 1 是圆柱的轴截
A、 B 重合的一个点．当点 C 是弧 AB 的
如图所示，一个简单的空间几何体的正视图和侧视图是边长为 2 的正三角形，俯视图轮廓为
正方形，试描述该几何体的特征，并求该几何体
的体积和表面积 .
4
19．若直角梯形的一个底角为
45°，下底长为上底长的
3，这个梯形绕下底所在直线旋转一
2
周所成的旋转体的表面积是
(5＋ 2) π，求这个旋转体的体积．
20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），
已建的仓库的底面直径为 12M ，高 4M ，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，
以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4M
（高不变）；二是高度增加 4M (底面直径不变 ) （1）分别计算按这两种方案
所建的仓库的体积；
2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
3）哪个方案更经济些？
5
21．某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为 6的线
段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，求 a＋ b 的
最大值．
万三中高 2015 级中秋节数学试题参考答案
一、 ACDBC
DABAD
二、 11、 2,4
12、___6__
13、__6
32π
15 、
2
3
2
三、 16、圆锥的高 h
42
22
2
3 ，圆柱的底面半径 r
1，
表面积为 2
2 3
17、解 设圆柱的底面半径为 r，母线长为 h，
?
ABC 的面积为
2
当点 C 是弧 AB 的中点时，三角形
r ，三棱柱 ABC — A 1 B1C1 的体积为
2
—ABC 的体积为
1
2
h，四棱锥 A
— BCC
B
的体积为
2
1 2
2 2
h，圆
1
1
1
1
柱的体积为 πr2h，故四棱锥 A 1— BCC1
B1 与圆柱的体积比为
2∶ 3π.
6
18、解：该几何体是一个正四棱锥，底面边长为 2，高为 3 ，侧面上的高为
2，
故体积 V
1 sh
1
22
3
4
3 ，表面积 S表
4
1
2 2 2 2
12
3
3
3
2
19、解 如图所示，在梯形
ABCD 中， AB∥ CD ，∠ A＝ 90°，∠ B＝ 45°，
绕 AB 边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．
3
x
， BC＝
2
x.
设 CD＝ x， AB＝ x，则 AD ＝ AB－ CD＝
2
2
2
S 表 ＝ S 圆柱底 ＋ S圆柱侧 ＋ S 圆锥侧
＝π·AD 2＋ 2π·AD ·CD ＋ π·AD·BC
x2
x
x
×
2
＝π·＋ 2π·
x
4
2
2
2
5＋ 2πx2.
4
根据题设，
5＋ 2
2) π，则 x＝ 2.
4
πx2＝ (5＋
π
所以旋转体体积 V＝ π·AD 2·CD＋ 3·AD 2·(AB－CD)
π
7
π.
＝π× 12× 2＋ × 12× (3－ 2)＝
3
3
20、解：（ 1）如果按方案一，仓库的底面直径变成 16M ,则仓库的体积
1 Sh
1
16
2
256 (M 3 )
V
4
1
3
3
2
3
如果按方案二，仓库的高变成 8M ，则仓库的体积
1 Sh
1
12
2
288 (M 3 )
V
8
2
3
3
2
3
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成 16M ,半径为 8M
棱锥的母线长为 l
82
42
4 5
则仓库的表面积 S1
8
4 5
32 5 (M 2 )
如果按方案二，仓库的高变成 8M
7
棱锥的母线长为 l 82 62 10 则仓库的表面积
S2
6 10
60
( M 2 )
（3）Q V2
V1 ，
S2
S1方案二比方案一更加经济
21、解：如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知棱，设
长方体的对角线
A1 C＝
7 ，则它的主视图投影长为
A1B＝
6，左视图投影
长为
1 ＝
，俯视图投影长为
1 1＝
，则
2＋
2＋ ( 6) 2
＝2·( 7) 2，
A D
a
AC b
a
b
即 a2＋ b2＝8，
＋
b
2＋
2
又 2
≤
2
，当且仅当“ a＝ b＝2”时等式成立．
----------THE END, THERE IS NO TXT FOLLOWING.-----------
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